第 1 讲 数论与因式分解 第一种方式 笛卡儿与因式分解笛卡儿与因式分解 1637 年笛卡儿 R Descartes 1596 1650 在其 几何学 中 首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解 并最早给出因式分解定理 他认为 函数 f x 能被 x a 整除 当且仅当 a是 f x 0 的一个根 他把两式 x 2 0 x 3 0 相乘 得到x2 5x 6 0 推出该方程的两个根为 2 和 3 关于笛卡儿的 待定系数法 原理 举例说明如下 为把 x2 1 分解成两个因式 假设 x2 1 x b x d 而 x b x d x2 b d x bd 因等式两边 x 同次幂项的系数相 等 有 b d 0 bd 1 由第一个式子知 b d 互为相反数 而其乘积又为 1 因而就有 x2 1 x 1 x 1 现今待定系数法已成为多项式因式分解 分式分项分解的有力工具 我思故我在 笛卡儿告诫我们 要想追求真理 必须在一生中尽可能地把所有事物都怀 疑一次 正是在此科学理念引导下 他博学多识 成果丰硕 第一位杰出近代哲学家 近代生 物学奠基人 第一流的物理学家 偶然的数学家 所谓 偶然 指笛卡儿因受梦的启示而创立了 解析几何 当时代数还是一门新兴科学 几何学思维在数学家头脑中占有牢固的统治地位 笛卡 儿从自然哲学高度提出 必须把几何与代数结合起来 建立一种 真正的数学 即解析几何 笛卡儿的这一天才创见 开拓了变量数学的广阔领域 使数学在思想方法上由常量数学进入到变 量数学时期 第二种方式 经典数字谜题 用 1 到 9 组成一个九位数 使得这个数的第一位能被 1 整除 前两位组 成的两位数能被 2 整除 前三位组成的三位数能被 3 整除 以此类推 一直到整个九位数能 被 9 整除 没错 真的有这样猛的数 381654729 其中 3 能被 1 整除 38 能被 2 整除 381 能被 3 整除 一直到整个数能被 9 整除 这个数既可以用整除的性质一步步推出来 也能利用计 算机编程找到