第4讲 等差数列的概念、性质1.理解等差数列的基本概念，掌握等差中项的计算方法，学会等差数列的证明方法。2.掌握等差数列的通项公式，并能够解决一些简单问题。3.掌握等差数列的基本性质，并熟练运用等差数列性质计算关于求解基本量的综合题。1.理解等差中项，运用等差中项是难点。2.理解等差数列与一次函数的关系是难点。3.熟练运用等差数列性质，求解数列基本量及数列通项公式是重点。等差数列的概念1、等差数列的定义： （1）文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与_都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用_表示。 （2）符号语言：在数列 an 中，如果_成立，则称数列 an 为等差数列。 （3）递推关系：_。2、由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做 a与b 的_。例1. 判断下列数列是否为等差数列 ：（1）2 , 2 , 2 , 2 , 2；（2）cos0，cos1，cos2，cos3，cos4；（3）3m，3m+a，3m+2a，3m+3a，其中a为常数；（4）a-1，a+1，a+3.练习1. 判断下列数列是否为等差数列：（1）2 , 4, 6, 8，2n-1，2n；（2）1 ,1 ,2 ,3 ,4 ，n._例2. 在-1与-7 之间顺次插入三个数 a，b，c 使这五个数成等差数列，求此数列.练习1.若实数 a，b，c 成等差数列，c，a，b 也成等差数列，则 b-a=（ ）A.4 B.2 C.-2 D.0_例3.已知数列 an 的通项公式为 an=an+ba，bR且a，b为常数，求证：数列 an 为等差数列.练习1.已知数列an 的通项公式为 an=4-2n ，求证：数列 an 为等差数列._等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为_ ，其中 _为首项，_为公差。例4.在等差数列 an 中，（1）已知 a1=6，d=3，求 a8；（2）已知 a4=10，a10=4，求 a7和d；（3）已知 a2=12，an=-20，d=-2，求n；（4）已知 a7=12，d=-2，求 a1.练习1.在等差数列 an 中，a3=5，a7=13，求其通项公式.练习2.已知等差数列an 中，a15=33，a61=217，试判断153是不是这个数列中的项，如果是，是第几项？_例5.已知数列an的通项公式为an=pn2+qn+r（p，q，rR，且p，q，r 为常数）.（1）当 p，q，r 满足什么条件时，数列an 是等差数列？（2）设bn=an+1-an，求证 bn 是等差数列.练习1.已知等差数列 an 中，a3=11，a8=31，求a10._等差数列的性质数列an为等差数列，公差为d，根据等差数列的定义及通项公式，可以推导等差数列的如下性质：（1）若 m+n=p+q m，n，p，qN* ，则_.（2）下标成等差数列且公差为 m 的项：ak，ak+m，ak+2m，k，mN* 组成公差为_的等差数列 . 如：a1，a3，a5，成等差数列，且公差为 _ 。（3）数列 an+b（，b为非零常数）是公差为 _的等差数列.例6. 已知等差数列 an .（1）若 a2+a3+a25+a26 = 48，求 a14 ；（2）若 a2+a3+a4+a5=34，a2a5=52， 求公差 d .练习1.在等差数列 an 中，若 a3+a4+a5+a6+a7=25，则 a2+a8=_.练习2. a15=10，a45=90，求a60._例7.已知等差数列 an 中，a1+a4+a7=15，a2a4a6=45，求此数列的通项公式.练习1. 已知等差数列 an 中，a2+a8=2，a5+a11=8，则其公差是（ ）.A.6 B.3 C.2 D.1_