高一数学 2017 秋季 第 1页 第 11 讲高一 上 期中总复习 类型一类型一 集合及其运算集合及其运算 考点说明 集合的运算和子集关系式重点 例 1 2017 惠州模拟 若集合 B x x 0 且 A B A 则集合 A 可能是 A 1 2 B x x 1 C 1 0 1 D R 答案 A 解析 解 集合 B x x 0 且 A B A 故 A B 故 A 答案中 1 2 满足要求 例 2 设函数 y 的定义域为 A 函数 y ln 1 x 的定义域为 B 则 A B A 1 2 B 1 2 C 2 1 D 2 1 高一数学 2017 秋季 第 2页 答案 D 解析 解 由 4 x 2 0 解得 2 x 2 则函数 y 的定义域 2 2 由对数函数的定义域可知 1 x 0 解得 x 1 则函数 y ln 1 x 的定义域 1 则 A B 2 1 例 3 集合 A x 2 x 5 集合 B x m 1 x 2m 1 1 若 B A 求实数 m 的取值范围 2 当 x R 时 没有元素 x 使 x A 与 x B 同时成立 求实数 m 的取值范围 答案 解 1 若 B A B 时 m 1 2m 1 m 2 满足 B A B 时 则 解得 2 m 3 综上所述 当 m 3 时有 B A 即实数 m 的取值范围为 3 2 由题意知 A B B 时 m 1 2m 1 m 2 B 时 则 解得 m 4 实数 m 的取值范围为 2 4 解析 1 根据 B A 讨论 B 和 B 两种情况 B 时容易求得 m 2 B 时 m 需满足 解该不等式组求出 m 的范围 然后并上 m 2 即得实数 m 的取值范围 2 由题意知 A B B 时 由 1 求得 m 2 B 时 m 需满足 解该不等式组 所得解并上 m 2 即可 例 4 已知二次函数 f x x 2 4x b 的最小值是 0 不等式 f x 4 的解集为 A 1 求集合 A 2 设集合 B x x 2 a 若集合 B 是集合 A 的子集 求 a 的取值范围 答案 解 1 二次函数 f x x 2 4x b 的最小值是 0 高一数学 2017 秋季 第 3页 0 解得 b 4 不等式 f x 4 的解集为 A 解不等式 x 2 4x 4 4 得 A x 0 x 4 2 当 a 0 时 集合 B A 符合题意 当 a 0 时 集合 B x 2 a x 2 a 集合 B 是集合 A 的子集 解得 0 a 2 综上 a 的取值范围是 2 解析 1 由二次函数 f x x 2 4x b 的最小值是 0 得 b 4 由此利用不等式 f x 4 的解集为 A 能求出集合 A 2 当 a 0 时 集合 B A 符合题意 当 a 0 时 集合 B x 2 a x 2 a 由此利 用集合 B 是集合 A 的子集 列出不等式组 能求出结果 类型二类型二 函数及其性质函数及其性质 考点说明 函数的解析式 单调性 奇偶性 对称性 周期性等 难度较大 是函数部分 的基础 对后面章节的影响多 例 5 2017 春 陆川县校级期末 奇函数 y f x x 0 当 x 0 时 f x x 1 则函数 f x 1 的图象为 A B C D 答案 D 解析 解 奇函数 y f x x 0 当 x 0 时 f x x 1 设 x 0 则 x 0 f x x 1 f x x 1 f x x 1 综上可得 f x 故 f x 1 高一数学 2017 秋季 第 4页 例 6 求函数的最大值 以及此时 x 的值 答案 解 x 0 当且仅当 即即 x 时 等号成立 此时 解析 利用基本不等式即可得出 f x 的最大值及其对应的 x 的值 例 7 已知函数 1 判断并证明函数的单调性 2 求此函数的最大值和最小值 答案 解 由题可知 y 1 1 函数 y 在 3 6 上单调递减 证明如下 任取 x1 x2 3 6 不妨设 x1 x2 则 由于 x1 x2 0 且 x1 2 0 x2 2 0 所以 0 即函数 y 在 3 6 上单调递减 所以函数 y 在 3 6 上单调递减 2 由 1 可知 当 x 3 时 y 取最大值 6 当 x 6 时 y 取最小值 解析 变形可知 y 1 1 利用定义法判断即可 2 结合 1 可知当 x 3 时 y 取最大值 当 x 6 时 y 取最小值 进而计算可得结论 例 8 下列四组函数中 表示相等函数的一组是 高一数学 2017 秋季 第 5页 A f x x B C g x x 1 D 答案 A 解析 解 A 函数 g x x 两个函数的对应法则和定义域相同 是相等函数 B 函数 f x x g x x 两个函数的对应法则和定义域不相同 不是相等函 数 C 函数 f x x 1 的定义域为 x x 1 两个函数的定义域不相同 不是相等函数 D 由 解得 x 1 即函数 f x 的定义域为 x x 1 由 x 2 1 0 解得 x 1 或 x 1 即 g x 的定义域为 x x 1 或 x 1 两个函数的 定义域不相同 不是相等函数 类型三类型三 基本初等函数基本初等函数 考点说明 指数函数 对数函数 幂函数图像和性质的研究遵循相似的规律 例 9 1 计算 1 30 2 计算 lg100 lg 答案 解 1 原式 9 8 1 18 2 原式 2 1 1 解析 根据对数的运算性质和指数幂的运算性质计算即可 例 10 已知函数 y 2 x 0 x 3 的值域为 A 函数 y lg x a x a 2 其中 a 0 的定义域为 B 1 当 a 4 时 求 A B 2 若 A B 求正实数 a 的取值范围 高一数学 2017 秋季 第 6页 答案 解 1 函数 y 2 x 0 x 3 的值域为 A 可得 A 1 8 函数 y lg x a x a 2 其中 a 0 的定义域为 B 当 a 4 时 可得 B x x 4 x 4 2 0 x 4 x 6 4 6 即有 A B 1 6 2 A B 且 B x x a x a 2 0 x a x a 2 可得 a 1 且 8 a 2 且 a 0 即有 a 6 则正实数 a 的取值范围为 6 解析 1 运用指数函数的单调性 可得 A 由对数的真数大于 0 结合二次不等式的解 法可得 B 再由交集的定义即可得到所求 2 由 A B 可得 a 1 且 8 a 2 且 a 0 解不等式即可得到所求范围 例 11 设 a 2 0 1 b ln c log3 则 a b c 的大小关系是 A a b cB a c bC b a cD b c a 答案 A 解析 解 a 2 0 1 20 1 0 ln1 b ln lne 1 c log31 0 a b c 例 12 已知 f x 9 x 2 3x 4 x 1 2 1 设 t 3 x x 1 2 求 t 的最大值与最小值 2 求 f x 的最大值与最小值 答案 解 1 设 t 3 x x 1 2 函数 t 3x 在 1 2 上是增函数 故有 t 9 故 t 的最大值为 9 t 的最小值为 2 由 f x 9 x 2 3x 4 t2 2t 4 t 1 2 3 可得此二次函数的对称轴为 t 1 且 高一数学 2017 秋季 第 7页 t 9 故当 t 1 时 函数 f x 有最小值为 3 当 t 9 时 函数 f x 有最大值为 67 解析 1 设 t 3 x 由 x 1 2 且函数 t 3x 在 1 2 上是增函数 故有 t 9 由此求得 t 的最大值和最小值 2 由 f x t 2 2t 4 t 1 2 3 可得此二次函数的对称轴为 t 1 且 t 9 由此求得 f x 的最大值与最小值 类型四类型四 函数综合函数综合 考点说明 函数的零点 二分法 函数实际应用等综合题 例 13 实数 a b c 是图象连续不断的函数 y f x 定义域中的三个数 且满足 a b c f a f b 0 f c f b 0 则 y f x 在区间 a c 上的零点个数为 A 2B 奇数 C 偶数 D 至少是 2 答案 D 解析 解 由根的存在性定理 f a f b 0 f c f b 0 则 y f x 在区间 a b 上至少有一个零点 在 b c 上至少有一个零点 而 f b 0 所以 y f x 在区间 a c 上的零点个数为至少 2 个 例 14 已知函数 f x x x m m 0 1 若函数 f x 的最小值为 5 求实数 m 的值 2 求使得不等式 f 1 5 成立的实数 m 的取值范围 答案 解 1 由 m 0 有 f x x x m x x m m m 当且仅当 x x m 0 时 取等号 高一数学 2017 秋季 第 8页 所以 f x 的最小值为 m 由题意可得 m 5 解得 m 1 或 4 2 f 1 1 1 m m 0 当 1 m 0 即 m 1 时 f 1 1 m 1 m 由 f 1 5 得 m 5 化简得 m 2 5m 4 0 解得 m 1 或 m 4 所以 m 4 当 1 m 0 即 0 m 1 时 f 1 1 1 m 2 m 由 f 1 5 得 2 m 5 即 m 2 3m 4 0 解得 4 m 1 即为 0 m 1 综上 当 f 1 5 时 实数 m 的取值范围是 0 1 4 解析 1 运用绝对值不等式的性质 a b a b 当且仅当 ab 0 取得等号 可 得 f x 的最小值 2 求得 f 1 讨论当 1 m 0 当 1 m 0 去掉绝对值 解 m 的不等式 即可得到所 求 m 的范围 例 15 已知关于 x 的函数 y m 6 x 2 2 m 1 x m 1 恒有零点 1 求 m 的范围 2 若函数有两个不同零点 且其倒数之和为 4 求 m 的值 答案 解 1 当 m 6 0 时 m 6 函数为 y 14x 5 显然有零点 当 m 6 0 时 m 6 由 4 m 1 2 4 m 6 m 1 36m 20 0 得 m 当 m 且 m 6 时 二次函数有零点 综上可得 m 即 m 的范围为 高一数学 2017 秋季 第 9页 2 设 x1 x2是函数的两个零点 则有 x1 x2 x1x2 4 即 4 4 解得 m 3 且当 m 3 时 m 6 0 0 符合题意 m 的值为 3 解析 1 当 m 6 0 时 即 m 6 时 满足条件 当 m 6 0 时 由 0 求得 m 且 m 6 综合可得 m 的范围 2 设 x1 x2是函数的两个零点 由条件并利用一元二次方程根与系数的关系求得 m 的值 例 16 某产品生产厂家根据以往销售经验得到下面有关生产销售的统计规律 每生产产品 x 百台 其总成本为 g x 万元 其中固定成本为 2 万元 并且每生产 1 百台的生产成 本为 1 万元 总成本 固定成本 生产成本 销售收入 R x 万元 满足 假设该产品产销平衡 试根据上述资料分析 1 要使工厂有盈利 产量 x 应控制在什么范围内 2 工厂生产多少台产品时 可使盈利最多 3 当盈利最多时 求每台产品的售价 答案 解 1 由题意 g x x 2 设利润函数为 f x 则 f x R x g x 由 f x 0 得 1 x 5 或 5 x 8 2 故 1 x 8 2 故要使工厂有盈利 产量 x 应控制在 100 台到 820 台内 2 当 0 x 5 时 f x 0 4 x 4 2 3 6 故当 x 4 时有最大值 3 6 当 x 5 时 f x 8 2 5 3 2 故当工厂生产 400 台产品时 可使盈利最多为 3 6 万元 高一数学 2017 秋季 第 10页 3 当 x 4 时 R 4 9 6 万元 2 4 万元 百台 故盈利最多时 每台产品的售价为 240 元 解析 1 由题意 g x x 2 设利润函数为 f x 则 f x R x g x 解 f x 0 即可 2 分别求各段上的最大值 从而求最高盈利 3 当 x 4 时 R 4 9 6 万元 2 4 万元 百台 从而得到 1 集合的运算空集是易错点