第12讲 数列的综合1. 掌握累和、累积、及由递推公式求通项公式的几种方法；2. 掌握倒序求和、错位相减求和、裂项求和、分组求和等几种方法；3. 数列综合应用.1.累和、累积求通项是基础；2.运用倒序求和、错位相减求和、裂项求和、分组求和是本节课的重点；3.递推公式求通项公式是难点.常见数列通项公式的求法1、累加法一般地，对于型如an+1=an+f(n)的通项公式，只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解；（1）若f(n)为常数,即：an+1-an=d,此时数列为等差数列，则an=a1+n-1d.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下：由an+1=an+f(n) 得：当n1时，有 an=an-1+f(n-1) an-1=an+f(n-2) a3=a2+f(2) a2=a1+f(1)所以各式相加得an-a1=fn-1+fn-2+f2+f(1)2.累乘法对于型如：由an+1=anf(n)类的通项公式，当f(1)f(2)f(n)的值可以求得时，宜采用此方法。（1） 当f(n)为常数，即：an+1an=q（其中q是不为0的数），此时，数列为等比数列，an=a1qn-1.（2） 当f(n)为n的函数时，用累乘法。由an+1an=f(n)得n1时，anan-1=f(n-1)an=anan-1an-1an-2a2a1a1=f(n)f(n-1)f(2)f(1)a13.利用项和互化求通项： an=S1,n=1Sn-Sn-1,n24. 辅助数列法（构造法或待定系数法）这种方法类似于换元法, 主要用于形如an+1=pan+q,(p0)的已知递推关系式求通项公式.（1）若时，数列为等差数列;（2）若时，数列为等比数列;（3）若且时，数列为线性递推数列，其通项可通过构造辅助数列来求.例1. （2017石景山区一模）数列an中，a1=2，an+1=an+c2n（c是常数，n=1，2，3），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列（）求c的值；（）求an的通项公式【答案】解：（）a1=2，a2=2+2c，a3=2+6c，a1，a2，a3成等比数列，（2+2c）2=2（2+6c），解得c=0或c=1当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=1（ 2）an+1=an+2n，a2=a1+21，a3=a2+22，a4=a3+23，an=an1+2n1，累加可得an=a1+2+21+22+2n1=2+=2n，当n=1时，也满足，故an的通项公式an=2n，（nN*）【解析】本题考查等比数列的通项公式、用递推式、累加法求通项公式等知识，属中档题练习1. 已知数列满足， ，则_【答案】【解析】，可采用累加法求通项公式： 练习2（2016海淀区二模）数列an的首项a1=2，且（n+1）an=nan+1，则a3的值为（）A5B6C7D8【答案】B【解析】解：数列an的首项a1=2，且（n+1）an=nan+1，an+1=an，a2=a1=22=4，a3=a2=4=6，练习3. （2017人大附中校级模拟）已知an满足，则a6a5的值为 【答案】96【解析】解：an满足，a3=2，a4=6，a5=24，a6=120a6a5=12024=96例2. 已知正项数列的前项和为，当时，且，设，则等于（ ）A B C D【答案】A【解析】：当时，即，展开化为：，正项数列的前项和为，数列是等比数列，首项为，公比为，故选A练习1. 在数列中，已知其前项和为，则_【答案】【解析】当时， ；当 时， ，不满足上式。故。练习2. 数列满足， ，写出数列的通项公式_【答案】【解析】因为,所以,两式相减得，即，又，所以，因此例3. 已知数列中， 且，则数列的通项公式为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由，可得.即是以为首项，以3为公比的等比数列.即.故选C.练习1. 已知数列中， 且且.（1）证明：数列为等差数列； （2）求数列.【答案】（1）证明见解析；（2） .【解析】（1）设=所以数列为首项是2公差是1的等差数列. （2）由（1）知， 练习2. 已知数列满足，.求证：数列是等比数列，并且求出数列的通项公式；【解析】： 1）由，所以即所以数列是以为首项，为公比的等比数列所以数列的通项公式为例4.已知数列满足，定义：使乘积为正整数的叫做“期盼数”，则在区间内所有的“期盼数”的和为（ ）A. 2036 B. 4076 C. 4072 D. 2026【答案】D【解析】 因为，所以，又因为为整数，所以k+2必须是2的n次幂，即，又，所以，所以解得，则在区间1,2011内所有的“期盼数”的和为： ，故选择D练习1. （2017海淀区模拟）已知数列a1，a2a1，a3a2，anan1，是首项为1，公差为1的等差数列，则数列an的通项公式an= 【答案】n（n+1）【解析】解：因为a1，a2a1，a3a2，anan1，是首项为1、公差为1的等差数列，所以当n2时an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）=n+，又因为a1=1满足上式，所以，练习2.已知函数的定义域为，当时， ，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 当 时 与时， 矛盾，因此 当时， ，设 ，则,因此为单调减函数，从而 , , , , ,选D.1.判断数列是否备an+1-an=f(n)具的形式应用累和法求得通项公式;2.判断数列是否备an+1=anf(n)具的形式由累积法求得通项，注意不能丢掉首项;3.对于给出数列前项和与通项之间的关系的题目，要先分析题目特征，确定是项变和，或者是和变项，然后运用公式解答;4.对于递推数列，需要借助辅助数列，构造成等差数列或者等比数列，或者是构造成累和法或累乘法求通项.数列求和法（1）公式法 等差数列的前n项和公式 等比数列的前n项和公式（2）倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广（3）裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项（4）分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解（5）错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广例5. 设 ( )A4 B 5 C 6 D 10【答案】B【解析】：观察题中特殊数字带来的数学信息，由题，所以联想到函数是否具有共同点：若则是否是定值，计算=，原式=.练习1.已知数列与，若且对任意正整数满足 数列的前项和（I）求数列的通项公式；（II）求数列的前项和【答案】【解析】：（I）由题意数列是以3为首项,以2为公差的等数列, 当时，； 当时，对不成立所以，数列的通项公式: （II）当时，当时， 仍然适合上式综上， 练习2. （2014秋昌平区期末）已知数列an满足3an+1+an=4（n1，nN*），且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Snn6|成立的n的最小值是（）A7B6C5D4【答案】C【解析】解：由3an+1+an=4（n1，nN*），得3（an+11）=（an1），则=，则数列an1是公比q=，首项为a11=8，的等比数列，则an1=8（）n1，即an=8（）n1+1，则Sn=66（）n+n，则|Snn6|=|6（）n|=6n，即（）n，（）5=，n5，故n的最小值是5，例6. （2016秋东城区期中）数列an的前n项和为Sn，若a1=3，Sn和Sn+1满足等式（ I）求S2的值（ II）求证：数列是等差数列（ III）若数列bn满足，求数列bn的前n项和【答案】解：（I）a1=3，Sn和Sn+1满足等式S2=8（）证明：，数列是以3为首项，1为公差的等差数列（）解：由（）可得，化为，当n2时，又a1=3也满足数列an的通项公式为an=2n+1，两式相减，整理可得3Tn=323+2（25+27+22n+1）（2n+1）22n+3=8+2（）（2n+3）22n+3【解析】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的判断，以及数列求和，考查计算能力错位相减练习1. 已知数列满足： （1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】（1），以上式子相乘得，代入，得，又符合上式，故数列的通项公式为（2），两式相减，得练习2. （2017秋五中期中）数列an、bn满足anbn=1，an=n2+3n+2，则bn的前10项之和等于（）ABCD【答案】先求出数列bn的通项公式，然后写出数列bn的前10项之和，利用裂项的方法求和即可【解析】解：anbn=1bn=s10=（ ）+=故选项为B1.如果它的前后项之和是常数，用倒序求和法.2.如果通项能够分成两项的差，且能够先后抵消，使用裂项相消求和法.3.求数列前n项和时，如果是等差数列，而是等比数列，使用错位相减求和法.