高二数学 2018 春季 第 1 页 演练方阵 第 7 讲 数学归纳法 类型一类型一 数阵找规律数阵找规律 考点说明 通过数阵找规律是重要考点 易 1 给出以下数阵 按各数排列规律 则n的值为 1 22 353 4 16 16 4 5 6565 5n A 66 B 256 C 257 D 326 中 2 已知点列如下 12345678 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1 1 4 2 3 PPPPPPPP 9101112 3 2 4 1 1 5 2 4 PPPP 则 60 P的坐标为 A 3 8 B 4 7 C 4 8 D 5 7 中 3 在杨辉三角形中 斜线 的上方从 1 按箭头所示方向可以构成一个 锯齿形 的数 列 1 3 3 4 6 5 10 记此数列的前n项之和为 n S 则 21 S的值为 A 66 B 153 C 295 D 361 l 找规律 高二数学 2018 春季 第 2 页 易 4 观察数表 1 2 3 4 第一行 2 3 4 5 第二行 3 4 5 6 第三行 4 5 6 7 第四行 第一列 第二列 第三列 第四列 根据数表中所反映的规律 第n行与第1 n列的交叉点上的数应该是 A 12 n B 12 n C 1 2 n D 22 n 易 5 将全体正整数排成一个三角形数阵 891 1 23 456 70 按照以上排列的规律 第n行 3n 从左向右的第 5 个数为 易 6 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表 1 4 37 681012 911 2 5 13 1517 设 ij a i jN 是位于这个三角形数表中从上往下数第i行 从左往右数第j个数 如 52 11a 则 87 a 高二数学 2018 春季 第 3 页 易 7 数列 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1 1 4 2 3 3 2 4 1 则 3 5 是该数列的第 项 中 8 将正偶数排列如图 其中第i行第j列的数表示为 ij a i jN 例如 43 18a 若2014 ij a 则ij 2 6 812 14161 4 10 820 中 9 对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的 分裂 333 13 7 315 2 39 4 517 11 19 仿此 若 3 m的 分裂 数中有一个是73 则m的值为 类型类型二二 式子或图形找规律式子或图形找规律 考点说明 由已知式子或图形找规律是重要考点 易 1 如图 第 个图形是由正 2边形 扩展 而来 1 2 3 则在第 个 图形中共有 个顶点 A 1 2 B 2 3 C 2 D 高二数学 2018 春季 第 4 页 中 2 用火柴棒摆 金鱼 如图所示 按照上面的规律 第 个 金鱼 图需要火柴 棒的根数为 A 6 2 B 8 2 C 6 2 D 8 2 中 3 已知整数按如下规律排成一列 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1 1 4 2 3 3 2 4 1 则第 70 个数对是 A 2 11 B 3 10 C 4 9 D 5 8 中 4 如图所示的是一串黑白相间排列的珠子 若按这种规律排列下去 那么第 34 颗珠 子的颜色是 A 白色 B 白色的可能性大 C 黑色 D 黑色的可能性大 中 5 某同学在纸上画出如下若干个三角形 若依此规律 得到一系列的三角形 则在前 2015 个三角形中共有的个数是 A 64 B 63 C 62 D 61 高二数学 2018 春季 第 5 页 中 6 图 1 2 3 4 分别包含 1 5 13 和 25 个互不重叠的单位正方形 按同样的方式 构造图形 则第n个图包含 个互不重叠的单位正方形 图 1 图 2 图 3 图 4 中 7 观察式子 2 13 1 22 22 115 1 233 222 1117 1 2344 则可归 纳出式子 2n A 222 11121 1 2321 n nn B 222 11121 1 232 n nn C 222 11121 1 23 n nn D 222 11121 1 23 n nn 中 8 对大于或等于 2 的正整数的幂运算有如下分解方式 222 21 3 31 35 41 357 233 235 379 11 413 15 17 19 根据上述分解规律 若 23 1 3511 mp 的分解中最小的正整数是 21 则mp 中 9 定义 分子为 1 且分母为正整数的分数称为单位分数 我们可以把 1 分拆为若干个 不同的单位 分数之和 如 111 1 236 1111 1 24612 11111 1 2561220 1111111111111 1 26123042567290110132156mn 其中mn m nN 0 0 xy 21xynm 则xy的最大值为 高二数学 2018 春季 第 6 页 中 10 观察下列等式 11 1 22 11111 1 23434 11111111 1 23456456 据此规律 第n个等式可写为 中 11 观察下列等式 212 1 1xxxx 22234 1 1232xxxxxx 2323456 1 1 36763xxxxxxxx 242345678 1 1410161916104xxxxxxxxxx 由以上等式推测 对于nN 若 222 0122 1 nn n xxaa xa xa x 则 2 a 中 12 已知 2 3 150sin90sin30sin 222 2 3 125sin65sin5sin 222 2223 sin 18sin 78sin 138 2 通过观察上述等式的规律 写出一般性的命题 类型类型一一 数学归纳法数学归纳法证明中的证明中的 k 1k 1 项项 考点说明 数学归纳法是重要的考点 利用归纳法直接证明相关问题 高二数学 2018 春季 第 7 页 易 1 用数学归纳法证明 21 1 22221N nn n 的过程中 第二步 nk 时等式成立 则当1nk 时应得到 A 2211 1 222221 kkk B 211 1 222221 2 kkkk C 2111 1 222221 kkk D 211 1 222221 kkk 易 2 用数学归纳法证明 63 3 1 23 2 nn n nN 则当1nk 时 应当在nk 时对应的等式的两边加上 A 3 33 121kkk B 3 1k C 3 1k D 3 6 1 1 2 kk 易 3 用数学归纳法证明 111 1 1 2321 n n nNn 时 由 nk1k 时 不等式成立 推证nk1 时 左边应增加的项数是 A 1 2k B 21 k C 2k D 21 k 易 4 用数学归纳法证明等式 2 22 22222 21 121121 3 nn nnn 当1nk 时 等式左端 应在1nk 的基础上加上 A 2 2 12kk B 2 2 1kk C 2 1k D 21 1211 3 kk 高二数学 2018 春季 第 8 页 中 5 用数学归纳法证明 2 21 1 11 1 n n a aaaanN a 在验证1n 时 等式左边是 A 1 B 1 a C 2 1 aa D 23 1 aaa 中 6 用数学归纳法证明 1112 1 1 21 231 231 n nn 时 由 nk 到1nk 左边需要添加的项是 A 2 2k k B 1 2k k C 1 12kk D 2 12kk 中 7 用数学归纳法证明不等式 11113 2 12224 n nnn 时的过程中 由 nk 到1nk 时 不等式的左边 A 增加了一项 1 21k B 增加了两项 11 2121kk C 增加了两项 11 2121kk 又减少了一项 1 1k D 增加了一项 1 21k 又减少了一项 1 1k 中 8 用数学归纳法证明 42 2 1 23 2 nn n 则当1nk 时左端应在nk 的基础上增加 A 2 1k B 2 1k C 42 11 2 kk D 2 22 121kkk 高二数学 2018 春季 第 9 页 中 9 用数学归纳法证明 2 2nn n的第一个取值应当是 A 1 B 3 C 5 D 10 中 10 用数学归纳法证明 222 1111 122 2321 21 n n n n N 时 第一步需要证明 A 1 12 2 1 B 22 11 12 221 C 222 111 12 2321 D 2222 1111 12 23421 中 11 已知 222222222 111111111 123321 11 f n n nn Nn 则当 Nk 时 1f kf k 等于 A 2 1 1k B 2 1 k C 22 11 1 k k D 22 11 1 k k 中 12 对于不等式 2 1nnnnN 某同学应用数学归纳法的证明过程如下 1 当1n 时 2 111 1 不等式成立 2 假设当 nk kN 时 不等式成立 即 2 1kkk 即当1nk 时 22 22 1132322211kkkkkkkkk 当1nk 时 不等式成立 则上述证法 A 过程全部正确 B 1n 验证不正确 C 归纳假设不正确 D 从nk 到1nk 的推理不正确 高二数学 2018 春季 第 10 页 中 13 用数学归纳法证明 2 22 22222 21 12 11 21 3 nn nnn 时 由nk 到1nk 时 等式左边应添加的式子是 A 2 2 12kk B 2 2 1kk C 2 1k D 21 1211 3 kk 类型二类型二 直接利用数学归纳法证明相关问题直接利用数学归纳法证明相关问题 考点说明 数学归纳法证明相关数学问题是重要的考点 中 1 在数列 n a中 1 1a 1 1 21 n nn acacn nN 其中实数0c 1 求 23 a a 并由此归纳出 n a的通项公式 2 用数学归纳法证明 的结论 中 2 设 1111 1 22 33 41 n S nn 写出 1 S 2 S 3 S 4 S的值 归纳猜想出结果 并给出证明 中 3 数列 n a满足 1 53618 nn aannN 且 1 4a 1 写出 n a的前 3 项 并猜想其通项公式 2 用数学归纳法证明你的猜想 高二数学 2018 春季 第 11 页 中 4 观察下列等式 3 11 33 123 333 1236 3333 123410 33333 1234515 1 猜想第 n nN 个等式 2 用数学归纳法证明你的猜想 中 5 观察下列不等式 4 1 3 2 18 1 25 22 1112 1 237 222 11116 1 2349 1 由上述不等式 归纳出与正整数n有关的一个一般性结论 2 用数学归纳法证明你得到的结论 中 6 观察下列等式 11 1 32 1 3 53 1 3 5 74 1 照此规律 归纳猜想出第n个等式 2 用数学归纳法证明 1 中的猜想 高二数学 2018 春季 第 12 页 中 7 已知数列 n a满足 1 1 2 n n a a nN 且 1 0a 1 计算 234 a a a的值 并猜想 n a的表达式 2 请用数学归纳法证明你在 1 中的猜想 中 8 已知 nN 12 n Snnnn 21 321 n n Tn 求 123123 S SS T T T 猜想 n S与 n T的关系 并用数学归纳法证明 中 9 给出四个等式 11 1 41 2 1 4 91 2 3 1 49 161 234 猜测第 n nN 个等式 并用数学归纳法证明 中 10 已知数列 n a满足 1 2 nn n a anN n 1 1 2 a 1 求 234 a a a值 2 归纳猜想数列 n a的通项公式 并用数学归纳法证明 类型一类型一 综合题中的数学归纳法综合题中的数学归纳法 考点说明 综合题中的数学归纳法往往出现在压轴题中 综合题中的数学归纳法 高二数学 2018 春季 第 13 页 难 1 设i 为虚数单位 n 为正整数 1 证明 cossincossin n xixnxinx 2 结合等式 1cossin1 cos