高三数学 2017 秋季 第 1页 演练方阵 第 3 讲基本初等函数 指数运算与指数函数 类型一类型一 指数幂的运算指数幂的运算 考点说明 知道根式 掌握开方和乘方 会用根式的运算性质求解 掌握分数指数幂的意 义 熟练掌握指数幂的混合运算 重点考查计算能力 易 1 25 0 2 1 2 1 3 2 5 0 3 2 0625 0 32 0 02 0 008 0 9 4 5 8 3 3 答案 9 2 解析 原式 4 1 3 2 2 1 3 2 10000 625 10 24 50 8 1000 9 49 27 8 9 2 2 2 9 17 2 1 10 24 25 1 25 3 7 9 4 易 2 化简 53 323 3 2 3 2 3 3 2 3 1 3 4 2 24 8 aa aa a b a aabb baa 答案 a2 解析 原式 5 1 3 1 2 1 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 1 3 1 3 1 2 3 1 3 3 1 3 3 1 3 1 2 2 2 2 aa aa a ba bbaa baa 2 3 2 3 1 6 1 6 5 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 2 aaaa a a ba a baa 高三数学 2017 秋季 第 2页 易 3 2014 秋 西 城 区 校 级 期 末 若 实 数 x y 满 足5 1 xy xy 则 22 1 11 xy xy 答案 6 6 解析 5 1 xy xy 5 15 x y x 22 1 11 xy xy 2 2 2 22 5 1 1516 66 1 5 11 15 xx xx x x x x 故答案为 6 6 中 4 2012 北京 101 中学高一期中试卷 函数 f x ax a 0 且 a 1 对于任意的 实数 x y 都有 A f xy f x f y B f x y f x f y C f xy f x f y D f x y f x f y 答案 B 解析 由函数 f x ax a 0 且 a 1 得 f x y ax y ax ay f x f y 所以 函数 f x ax a 0 且 a 1 对于任意的实数 x y 都有 f x y f x f y 选 B 中 5 2014 秋 大兴区期中 已知 11 22 3xx 求 22 33 22 2 3 xx xx 的值 答案 3 解析 11 22 3xx 11 2 22 9xx 1 29xx 1 7xx 1 2 49xx 22 47xx 又 3311 1 2222 1 3 7 1 18xxxxxx 22 33 22 2472 3 183 3 xx xx 难 6 2015 春 朝阳区期末 一张长方形白纸 其厚度为 a 面积为 b 现将此纸对折 沿 对边中点连线折叠 5 次 这时纸的厚度和面积分别为 高三数学 2017 秋季 第 3页 A 1 32 a 32bB 32a 1 32 bC 16a 1 32 bD 16a 1 16 b 答案 B 解析 将报纸依次对折 报纸的厚度和面积也依次成等比数列 公比分别为 2 和 1 2 故 对折 5 次后报纸的厚度为 25a 32a 报纸的面积 5 1 2 b 1 32 b 故选 B 类型二类型二 指数函数的概念与解析式指数函数的概念与解析式 考点说明 掌握指数函数的概念与解析式 并能熟练运用 易 1 2012 北京模拟 如果函数 y ax的图象过点 1 3 8 那么 a 的值为 A 2B 2C 1 2 D 1 2 答案 D 解析 因为函数 y ax的图象过点 1 3 8 所以 3 1 8 a 即 a3 2 3 所以1 1 2 2 a 故选 D 易 2 函数 aa a y x 72 2 是指数函数 求 a 的值 答案 4 解析 由题可知172 2 a a 解得42 aa或 10 aa且 4 a 易 3 下列函数是指数函数的是 A x y5 B x y 2 5C x y52 D 15 x y 答案 A 解析 根据指数函数的概念可知只有 A 符合 a y x 易 4 2011 北京学业考试 已知函数 y 2x的图象经过点 1 y0 那么 y0等于 A 1 2 B 1 2 C 2D 2 答案 A 解析 函数 y 2x的图象经过点 1 y0 点 1 y0 满足 y 2x y0 2 1 高三数学 2017 秋季 第 4页 解得 y0 1 2 故选 A 中 5 2009 秋 石景山区期末 设函数 f x ax a 0 a 1 如果 f x1 x2 x2009 8 那么 f 2x1 f 2x2 f 2x2009 的值等于 A 32B 64C 16D 8 答案 B 解析 f x1 x2 x2009 8 可得 ax1 x2 x2009 8 f 2x1 f 2x2 f 2x2009 a 2 x1 x2 x2009 82 64 故选 B 难 6 2012 秋 房山区期末 对于函数 f x 若在其定义域内存在两个实数 a b a b 使得当 x a b 时 f x 的值域是 a b 则称函数 f x 为 M 函数 给出下 列四个函数 f x x 1 f x x2 1 f x 2x 2 f x 1 8 x 其中所有 M 函数 的序号是 A B C D 答案 D 解析 1 f x x 1 当 x a b 时 f x 的值域是 a 1 b 1 找不到满足条件 的 a 与 b 根据定义可知 f x x 1 不是 M 函数 f x x2 1 当 x 0 1 时 f x 的值域是 0 1 根据定义可知 f x x2 1 是 M 函数 f x 2x 2 由于它在 R 上是增函数 当 x a b 时 f x 的值域是 2a 2 2b 2 由 2a 2 a 2b 2 b 得 2a a 2 2b b 2 由图象可知 函数 y 2x与 y x 2 有两个交点 根据定义可知 f x 2x 2 是 M 函数 f x 1 8 x 由于它在 R 上是增函数 当 x a b 时 f x 的值域是 11 88 ab 由 a 1 8 a b 1 8 b 得a a 1 8 b b 1 8 由图象可知 函数 y x与 y x 1 8 有两个交点 根据定义可知 f x 1 8 x 是 M 函数 故所有 M 函数 的序号是 故选 D 高三数学 2017 秋季 第 5页 类型类型三三 指数函数的定义域和值域指数函数的定义域和值域 考点说明 掌握指数函数的定义域及值域 熟练运用换元法 数形结合法求复合函数的值 域 易 1 2009 秋 宣武区期中 函数 y 3 x 1 的定义域为 1 2 则函数的值域为 A 2 8 B 0 8 C 1 8 D 1 8 答案 B 解析 设 t x 函数 y 3 x 1 的定义域为 1 2 t 0 2 y 3t 1 y 3t 1 在 t 0 2 的值域为 0 8 故选 B 易 2 2013 北京模拟 已知函数 f x ax a 0 a 1 在区间 0 1 上最大值是 2 那么 a 等于 A 1 4 B 1 2 C 2D 4 答案 C 解析 若 a 1 则函数 f x ax单调递增 则在区间 0 1 上最大值为 f 1 a 2 此 时 a 2 满足条件 若 0 a 1 则函数 f x ax单调递减 则在区间 0 1 上最大值为 f 0 1 此时不满足条件 综上 a 2 故选 C 易 3 2015 2016 北京市东城区高一 上 期末试卷 已知函数 f x ax b a 0 a 1 的定义域和值域都是 1 0 则 a b 答案 3 2 高三数学 2017 秋季 第 6页 解析 当 a 1 时 函数 f x ax b 在定义域上是增函数 所以 1 10 1 b ab 解得 b 1 1 a 0 不符合题意舍去 当 0 a 1 时 函数 f x ax b 在定义域上是减函数 所以 1 11 0 b ab 解得 b 2 a 1 2 综上 a b 3 2 故答案为 3 2 易 4 2015 2016 北京市房山区四中高一 上 期末试卷 已知函数 f x 1 4 x 1 2 x 1 的定义域是 3 2 则该函数的值域为 答案 3 57 4 解析 由于 x 3 2 1 4 1 2 x 8 令 t 1 2 x 则有 y t2 t 1 2 1 2 t 3 4 故当 t 1 2 时 y 有最小值为 3 4 当 t 8 时 y 有最大值为 57 故答案为 3 57 4 中 5 2011 秋 海淀区校级期中 函数 f x 4x a 2x 1 1 x 2 的最小值为 g a 则 g 2 答案 4 解析 当 a 2 时 f x 4x 2 2x 1 令 2x t 1 x 2 则 y t2 4t t 2 2 4 定义 域 t 1 4 2 易知当 t 2 时 取得最小值 4 即 g 2 4 故答案为 4 类型类型四四 指数函数的性质指数函数的性质 考点说明 掌握指数函数的性质 包括单调性和定点问题 要熟练掌握复合函数的单调性 求法 易 1 2009 2010 西城区 101 中学高一 上 期中数学试卷 函数 y ax 1 1 0 a 1 的图象必经过点 A 0 1 B 1 1 C 1 2 D 0 2 答案 C 高三数学 2017 秋季 第 7页 解析 由 a0 1 可得当 x 1 时 函数 y ax 1 1 a0 1 2 故函数 y ax 1 1 0 a 1 的图 象必经过点 1 2 故选 C 易 2 2014 秋 大兴区期中 函数 y ax 2 3 恒过定点 答案 2 4 解析 函数 y ax恒过 0 1 而函数 y ax 2 3 可以看作是函数 y ax向左平移 2 个单 位 图象向上平移 3 个单位得到的 y ax 2 3 恒过定点 2 4 故答案为 2 4 易 3 2017 秋 丰台区校级期中 函数 y 2x 2 7 的图象恒过定点 A 则点 A 的坐标 是 答案 2 6 解析 函数 y 2x恒过定点 0 1 而函数 y 2x 2 7 的图象是把函数 y 2x的图象向右 平移 2 个单位 再向下平移 7 个单位得到的 函数 y 2x 2 7 的图象恒过定点 A 2 6 故答案为 2 6 易 4 函数 f x 2ax 1 3 a 0 且 a 1 的图象经过的定点坐标是 答案 1 1 解析 由指数幂的性质可知 令 x 1 0 得 x 1 此时 f 1 2 3 1 即函数 f x 的图象经过的定点坐标是 1 1 故答案为 1 1 中 5 求函数 2 32 2 xx y的单调区间 答案 1 1 调递增 在 3 1单调递增 解析 032 2 x x 31 x 设 xg 41 32 2 2 xx x xg 对称轴1 x 2 32 2 xx y在 1 1 单调递增 在 3 1单调递增 中 6 函数 3 1 2 2 x x y 的值域 答案 3 1 解析 令tx x 2 2 则 3 1 t y 1 t 3 1 t y 的值域为 3 1 3 1 2 2 x x y 的值域为 3 1 高三数学 2017 秋季 第 8页 类型类型五五 指数式比较大小指数式比较大小 考点说明 根据指数函数的单调性比较大小是常考考点 易 1 比较下列题中值的大小 1 3 与3 14 3 2 99 0 01 1 与 99 0 11 1 3 4 1 1 0 与 9 0 3 0 答案 1 33 14 3 2 99 099 0 11 101 1 3 9 04 1 3 01 0 解析 1 构造函数 3x y 13 a 3x y 在 R 上单调递增 14 3 33 14 3 2 构造函数 99 0 x y 199 0 a 99 0 x y 在 R 上单调递减 11 101 1 99 099 0 11 101 1 3 分别构造函数 4 1 x y 和 9 0 x y 由指数函 数性质可以知 4 1 x y 和 9 0 x y 在单调递增和单调递减 01 0 1 4 14 1 01 0 13 0 1 9 09 0 03 0 9 04 1 3 01 0 易 2 2014