考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 第十七讲 不等式选讲 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考情分析 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 总纲目录 总纲目录 考点一 绝对值不等式的解法 考点二 不等式的证明 考点三 绝对值不等式的恒成立问题 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 考点一 绝对值不等式的解法 1 ax b c ax b c型不等式的解法 1 若c 0 则 ax b c等价于 c ax b c ax b c等价于ax b c 或ax b c 然后根据a b的值求解即可 2 若c0 x a x b c c 0 型不等式的解法 1 令每个绝对值符号里的一次式为0 求出相应的根 2 把这些根由小到大排序 它们把数轴分为若干个区间 3 在所分区间上 根据绝对值的定义去掉绝对值符号 讨论所得 的不等式在这个区间上的解集 4 这些解集的并集就是原不等式的解集 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 2018河南洛阳第一次统考 已知函数f x x a a R 1 当a 2时 解不等式 f x 1 2 设不等式 f x x的解集为M 若 M 求实数a的取 值范围 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 解析 1 当a 2时 原不等式可化为 3x 1 x 2 3 当x 时 原不等式可化为 3x 1 2 x 3 解得x 0 所以x 0 当 x 2时 原不等式可化为3x 1 2 x 3 解得x 1 所以1 x0 x a x b c 或 c c 0 型不等式的解 法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解 1 零点分区间法的一般步骤 令每个绝对值符号内的代数式为零 并求出相应的根 将这些根按从小到大排列 把实数集分为若干个区间 由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式 解这些不等式 求 出解集 取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集 2 利用绝对值的几何意义解题 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 由于 x a x b 与 x a x b 分别表示数轴上与x对应的点到a b对应 的点的距离之和与距离之差 因此对形如 x a x b c c 0 或 x a x b c c 0 的不等式 用绝对值的几何意义求解更直观 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 1 2018课标全国 23 10分 设函数f x 5 x a x 2 1 当a 1时 求不等式f x 0的解集 2 若f x 1 求a的取值范围 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 解析 1 当a 1时 f x 可得f x 0的解集为 x 2 x 3 2 f x 1等价于 x a x 2 4 而 x a x 2 a 2 且当x 2时等号成立 故f x 1等价于 a 2 4 由 a 2 4可得a 6或a 2 所以a的取值范围是 6 2 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 2 已知函数f x x a 其中a 1 1 当a 2时 求不等式f x 4 x 4 的解集 2 已知关于x的不等式 f 2x a 2f x 2的解集为 x 1 x 2 求a 的值 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 解析 1 当a 2时 f x x 4 当x 2时 由f x 4 x 4 得 2x 6 4 解得x 1 当2 x 4时 f x 4 x 4 无解 当x 4时 由f x 4 x 4 得2x 6 4 解得x 5 所以f x 4 x 4 的解集为 x x 1或x 5 2 记h x f 2x a 2f x 则h x 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 由 h x 2 解得 x 又已知 h x 2的解集为 x 1 x 2 所以 于是a 3 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 考点二 不等式的证明 1 a b a b a b 2 a b R 则a b 2 3 a b R 则a2 b2 2ab 4 ai R i 1 2 n 则a1 a2 an n 5 ai R bi R i 1 2 n aibi 2 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 已知函数f x x 1 1 求不等式f x 3 2 x 的解集 2 若函数g x f x x 3 的最小值为m 正数a b满足a b m 求证 4 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 解析 1 当x 1时 x 1 3 2x 解得x x 当0 x 1时 1 x 3 2x 解得x 2 无解 当x 0时 1 x 3 2x x x 原不等式的解集为 2 g x x 1 x 3 x 1 x 3 4 m 4 即a b 4 又 b 2a a 2b 两式相加得 2a 2b a b 4 当且仅当a b 2时等号成立 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 方法归纳 证明不等式的方法和技巧 1 如果已知条件与待证明的结论之间的联系不明显 可考虑用分 析法 如果待证的命题以 至少 至多 等方式给出 或是否定 性命题 唯一性命题 则考虑用反证法 2 在必要的情况下 可能还需要使用换元法 构造法等技巧简化 对问题的表述和证明 尤其是对含绝对值不等式的解法和证明 其 简化的基本思路是化去绝对值符号 转化为常见的不等式 组 求 解 多以绝对值的几何意义或 找零点 分区间 逐个解 并起 来 为简化策略 而绝对值三角不等式 往往作为不等式放缩的依 据 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 已知函数f x x 1 1 求不等式f x f a f b 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 解析 1 当x 1时 原不等式可化为 x 1 2x 2 解得x 1 当 1 x 时 原不等式可化为x 1 2x 2 解得x 1 此时原不等 式无解 当x 时 原不等式可化为x 11 综上 M x x1 2 证明 因为f a f b a 1 b 1 a 1 b 1 a b 所以要证f ab f a f b 只需证 ab 1 a b 即证 ab 1 2 a b 2 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 即证a2b2 2ab 1 a2 2ab b2 即证a2b2 a2 b2 1 0 即证 a2 1 b2 1 0 因为a b M 所以a2 1 b2 1 所以 a2 1 b2 1 0成立 所以原不等式成立 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 考点三 绝对值不等式的恒成立问题 1 f x a恒成立 f x min a f x a恒成立 f x maxa有解 f x max a f x a有解 f x mina无解 f x max a f x 1的解集 2 若x 0 1 时不等式f x x成立 求a的取值范围 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 解析 1 当a 1时 f x x 1 x 1 即f x 故不等式f x 1的解集为 2 当x 0 1 时 x 1 ax 1 x成立等价于当x 0 1 时 ax 1 0 则 ax 1 1的解集为 所以 1 故0 a 2 综上 a的取值范围为 0 2 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 方法归纳 解决含绝对值不等式的恒成立问题 用等价转化思想 1 利用三角不等式求出最值进行转化 2 利用分类讨论思想 转化成求函数值域 3 数形结合转化 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 2018陕西西安八校联考 已知函数f x 和g x 的图象关于原点对 称 且f x x2 2x 1 解关于x的不等式g x f x x 1 2 如果 x R 不等式g x c f x x 1 恒成立 求实数c的取值范 围 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 解析 1 函数f x 和g x 的图象关于原点对称 g x f x x2 2x 原不等式可化为 x 1 2x2 即x 1 2x2或x 1 2x2 解得 1 x 故不等式的解集为 2 不等式g x c f x x 1 可化为 x 1 2x2 c 即c 2x2 x 1 恒成立 令函数F x 当x 1时 F x min F 1 2 当x 1时 F x min F 考情分析 总纲目录 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 综上 F x min 故c的取值范围是