19 4 3角平分线 角平分线的性质是什么用纸剪一个角 把纸片对折 使角的两边叠合在一起 再把纸片展开 你看到了什么 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线的这条性质是怎样得到的呢 开启智慧 定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等 如图 已知 OC是 AOB的平分线 P是OC上任意一点 PD OA PE OB 垂足分别是D E 求证 PD PE 平分线上的点到这个角的两角边距离相等 C 证明 因为PD OA PE OB 已知 所以 PDO PEO 90 垂直的定义 PDO PEO A A S PD PE 于是就有定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 四问答 1 如图 在Rt ABC中 角平分线的性质 为我们证明两线段相等又提供了新的方法与途径 A B C BD是 B的平分线 DE AB 垂足为E E DE与DC相等吗 答 DE DC BD是 ABC的平分线 D在 ABC的平分线上 又 DE BA 垂足为E DE DC 为什么 DC BC 垂足为C 反过来 到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢 已知 如图 PD OA PE OB 点D E为垂足 PD PE 求证 点P在 AOB的平分线上 证明 PD OA PE OB 点D E为垂足 在Rt PDO与Rt PEO中 PDO PEO Rt PD PE 已知 OP OP 公共边 Rt PDO PDO 1 2即点P在 AOB的平分线上 于是就有定理 到一个角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上 命题 三角形三个角的平分线相交于一点 如图 设 ABC的角平分线BM CN相交于点P 过点P分别作BC AC AB的垂线 垂足分别是E F D BM是 ABC的角平分线 点P在BM上 ABC的三条角平分线相交于一点P 基本想法是这样的 我们知道 两条直线相交只有一个交点 要想证明三条直线相交于一点 只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可 这时可以考虑前面刚刚学习的内容 PD PE 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 同理 PE PF PD PF 点P在 BAC的平分线上 在一个角的内部 且到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上 1 1 2 DC AC DE AB DC DE 角平分线上的点到角的两边的距离相等 2 判断题 如图 AD平分 BAC 已知 BD DC 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 课时训练 练习1 如图 在直线l上找出一点P 使得点P到 AOB的两边OA OB的距离相等 提示 作 AOB的平分线 交直线l于P就是所求的点 练习2 如图 已知 ABC的外角 CBD和 BCE的平分线相交于点F 求证 点F在 DAE的平分线上 G H P 证明 作FG AE于G FH AD于HFP CB于P 作射线OF CF平分 ECB FG FP 角平分线上的点到角两边距离相等 同理可证 FH FP FG FH 点F在 EOD的平分线上 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上