第二章向量范数与矩阵范数 2 4矩阵的条件数 考虑线性方程组它有准确解为 如果方程组的系数矩阵以及右端项发生微小的变化 得它有准确解 可以看出 方程组的解变化非常大 定义1 设 是Cnxn上的一个矩阵范数 矩阵A的条件数定义为 矩阵的条件数 常用的条件数有 条件数 1 条件数 2 条件数 矩阵的条件数 常用的条件数有 特别地 当A是一个正规矩阵时 矩阵的条件数 例1 设求A的条件数 矩阵的条件数 矩阵条件数的性质 1 矩阵的条件数 2 3 4 当U是酉矩阵时 则 5 当A B是可逆矩阵时 则 n阶Hilbert矩阵 矩阵的条件数 Hilbert矩阵常常出现在数据拟合和函数逼近的研究中 1 若条件数cond A 较小 接近1 就称A关于求逆矩阵或解线性方程组为良态的或好条件的 误差估计中的应用 2 若条件数cond A 较大 就称A关于求逆矩阵或解线性方程组为病态的或坏条件的 注 cond A 多大A算病态 通常没有具体的定量标准 注 当矩阵A十分病态时 就说明A已十分接近一个奇异矩阵 误差估计中的应用 1 对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差的影响 误差估计中的应用 定理1设是一个可逆矩阵 是一个矩阵 是Cnxn上的一个矩阵范数 若则可逆 且有 1 对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差的影响 误差估计中的应用 推论1设 若存在Cnxn上的一个矩阵范数 使得则有 2 在解线性方程组Ax b时系数矩阵A和向量b的数据误差对解的误差的影响 误差估计中的应用 定理2设 而Cn上的向量范数与Cnxn上的矩阵范数 相容 设x是线性方程组Ax b的解 是线性方程组的解若 则 2 在解线性方程组Ax b时系数矩阵A和向量b的数据误差对解的误差的影响 误差估计中的应用 2 在解线性方程组Ax b时系数矩阵A和向量b的数据误差对解的误差的影响 误差估计中的应用 定理3设 而Cn上的向量范数与Cnxn上的矩阵范数 相容 若向量分别满足Ax b 则有 例2 设证明对任意范数 当时有 因而矩阵A是病态的 误差估计中的应用 例3 设为使线性方程组Ax b的解x与的解的相对误差 试问应不超过何值 误差估计中的应用 1 设 求A的条件数 作业 2 设且试估计线性方程组Ax b的解x与Ax b1的解x1的相对误差 作业