九年级数学上册 第四章 视图与投影一 知识归纳： 知识点 1 三视图：主视图、俯视图和左视图三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等。一般地，俯视图要画在主视图的下方，左视图要画在正视图的右边。主视图：基本可认为从物体正面视得的图象. 俯视图：基本可认为从物体上面视得的图象左视图：基本可认为从物体左面视得的图象.注：视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面(平面或曲面)，而相连的两个闭合线框一定不在一个平面上。在一个外形线框内所包括的各个小线框，一定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各个小的平面体（或曲面体） 。在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线。 知识点 2 投影 太阳光线可以看成平行的光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。区分平行投影和中心投影：观察光源；观察影子。从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，也就是视图，是当光线与投影垂直时的投影。点在一个平面上的投影仍是一个点；线段在一个面上的投影可分为三种情况：1.线段垂直于投影面时，投影为一点；2.线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度；3.线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：1.平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状；2.平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段；3.平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状。二典型例题解析【视图类】例题解析 1 如图所示的几何体的俯视图是（ B ） 例题解析 2 上图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的俯视图是( D )例题解析 3 下图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图， 则搭成这个几何体的小正方体的个数是 BA B C D A5 B6 C7 D8 例题解析 4 如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和左视图，那么组成这个几何体的小正方体的个数最多为 .例题解析 5 在如图所示的正方体的三个面上，分别画了填充不同的圆，下面的 4 个图中，是这个正方体展开图的有( A )例题解析 6 如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字和最小的是( C ).A. 4 B. 6 C. 7 D.8142536第 7 题图【投影类】例题解析 7 比例求高“投影”类题如图 1，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，在阳光下测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是 0.5 米和 15 米.已知小华的身高为 1.6 米，那么他所住楼房的高度为_48_米.变化 1 如果物体的投影一部分落在平地上，另一部分落在坡面上：如图 2，在斜坡的顶部有一铁塔 AB，B 是 CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影 DE 留在坡面上已知铁塔底座宽 CD=12 m，塔影长 DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点 E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为 2m 和 1m，那么塔高 AB 为( )(A)24m (B)22m (C)20 m (D)18 m 图 2变化 2 如果物体的投影一部分落在平地上，另一部分落在台阶上：兴趣小组的同学要测量树的高度在阳光下，一名同学测得一根长为 1 米的竹竿的影长为 0.4 米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为 0.2 米，一级台阶高为 0.3米，如图 3，若此时落在地面上的影长为 4.4 米，则树高为（ ）(A)11.5 米 (B)11.75 米 (C)11.8 米 (D)12.25 米变化 3 如果将上题中的 DE 改为斜坡，再改变部分已知条件 ：梅华中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时，测量朝西教学楼前的旗杆 AB 的高度如图 4，当阳光从正西方向照射过来时，旗杆 AB 的顶端 A 的影子落在教学楼前的坪地 C 处，测得影长 CE=2 m, DE=4m ,BD=20m，DE 与地面的夹角 在同30一时刻，测得一根长为 1m 的直立竹竿的影长恰为4m根据这些数据求旗杆 的高度 （结果保留两AB个有效数字）例题解析 8 三角函数求高 “投影”类题如图 5，当太阳光与地面成 角时，直立于地面的5玲玲测得自己的影长为 1.16m，则玲玲的身高约为 m （精确到 0.01m）变化 1 如果将太阳光改为照明灯，再适当改变已知条件和问题的形式：如图 6 所示，点 P 表示广场上的一盏照明灯若小丽到灯柱MO 的距离为 4.5 米，照明灯 P 到灯柱的距离为 1.5 米，小丽目测照明灯 P 的仰角为 ，她的目高 QB 为 1.6 米，试求照明灯 P 到地面的距离5（结果精确到 0.1 米） 例题解析 9 相似三角形求高 “投影”类题如图 7，为了测量学校旗杆的高度，小东用长为 3.2 m 的竹竿做测量工具。移动竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距 8m，与旗杆相距 22m，则旗杆的高为_m变化：如果将上题的太阳光线的平行投影改为灯具的中心投影，再适当改变已知条件和问题的形式：如图 8，路灯（P 点）距地面 8 米，身高 1.6 米的小明从距路灯的底部（O 点 ）20 米的 A 点，沿 OA所在的直线行走 14 米到 B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？三衔接中考：考题 1: (2010 年湖北黄冈)如图 5222 是由棱长为 1 的正方体搭成的积木的三视图，则图中棱长为 1 的正方体的个数是_图 5222考题 2:(2011荆州)如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为25，且三角尺的一边长为 8 cm，则投影三角尺的对应边长为()A8 cm B20 cm C 3.2 cm D10 cm答案B考题 3:(2011杭州)如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中的 a()图7A2 B. C2 D 13 3答案B考题 4:(2011 年扬州)如图是由几个小立方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图是 ( )答案：A考题 5:（2011 年连云港）如图，是由 8 个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是 22 的正方形 ，若拿掉若干个小立方块后（几何体不倒掉） ，其三个仍都为 22 的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为 ( )A1 B2C3 D4答案：B考题 6:(2011孝感)一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图与左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有_个答案5考题 7(2012 年湖北荆州)如图 5227 是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为_cm 2(结果可保留根号)图 5227考题 8:(2010宁波)十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数( F)、棱数(E) 之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式. 请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：多面体 顶点数(V ) 面数(F ) 棱数(E )四面体 4 4长方体 8 6 12正八面体 8 12正十二面体 20 12 30你发现顶点数(V) 、面数(F)、棱数 (E)之间存在的关系式是_；(2)一个多面体的面数比顶点数大 8，且有 30 条棱，则这个多面体的面数是 _；(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有 24 个顶点，每个顶点处都有 3 条棱. 设该多面体外表面三角形的个数为 x 个，八边形的个数为 y 个，求 x y 的值解(1)表中填：6, 6；VFE2.(2)20.(3)这个多面体的面数为 xy，棱数为 36 条，2432根据 VF E 2，可得 24(xy)362，xy14.四课堂练习：（一）基础类型：1. 结合地理知识，在下列地区中，有太阳直射现象的是( )A河北省 B河南省 C北京 D海南省2. 一个人晚上迎着路灯走时，他影子的变化方式为( )A由长变短 B由短变长 C保持不变 D不一定 3. 如图，把正方体的一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光线垂直，那么，该正方体在纸上的投影影子是( )4.小荣身高是 1.5m，由路灯杆底下向前走 6m，发现影长是 2.4m，灯的高度是( )A 5.5m B52.5m C 6.6m D5.25m 5. 如图，AB 和 DB 是直线在地面上的两根立柱， AB5m，某一时刻 AB 在阳光下 的投影 BC3m。请在图中画出此时 DE 在阳光下的投影。（二）思维拓展:1. 下面的四组图形中，如图所示的圆柱体的三视图的是（ ）2.右图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则构成这个几何体的小正方体的个数是（ ）A5 B6 C7 D83.如图所示，在房子外的屋檐 E 处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌那么监视器的盲区在（ ）AACE BBFD C四边形 BCED DABD4.下面的图形中是正方体展开图的有（ ） A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个5.如图，在晚上，身高是 1.6m 的王磊由路灯 A 走向路灯 B，当他走到点 P 时，发现他身后的影子的顶部刚好接触到路灯 A 的底部；当他再向前步行 12m 到达点 Q 时，发现他身前的影子的顶部刚好接触到路灯 B 的底部。已知两个路灯的高度都是 9.6m。5.数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时，他们在阳光下测得一根长为1m 的竹杆的影子是 0.9m，但当他们测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在数学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端 C 处，他们认为继续测量也可以求出树高。随后测得落在地面的影长为 1.1m，台阶总的高度为 1.0m，水平总宽度为 1.6m.请算一下树高是多少。(假设两次测量时太阳线是平行的)