第一章解三角形 1 2余弦定理 隧道工程设计 经常需要测算山脚的长度 工程技术人员先在地面上选一适当位置A 量出A到山脚B C的距离 再利用经纬仪 测角仪 测出A对山脚BC的张角 最后通过计算求出山脚的长度BC B C A 创设情境 探究 在 ABC中 已知CB a CA b CB与CA的夹角为 C 求边c 设 由向量减法的三角形法则得 问题探究 C B A c a b 由向量减法的三角形法则得 设 C B A c a b 余弦定理 由向量减法的三角形法则得 探究 若 ABC为任意三角形 已知角C BC a CA b 求AB边c 设 向量法 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 对余弦定理还有其他证明方法吗 当角C为锐角时 几何法 当角C为钝角时 余弦定理作为勾股定理的推广 考虑借助勾股定理来证明余弦定理 证明 在三角形ABC中 已知AB c AC b和A 作CD AB 则CD bsinA BD c bcosA 同理有 当然 对于钝角三角形来说 证明类似 课后自己完成 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 推论 利用余弦定理可以解决什么类型的三角形问题 例1 在 ABC中 已知AB 6km BC 3 4km B 120o 求AC 解 由余弦定理得 答 岛屿A与岛屿C的距离为8 24km 学以致用 例2 在 ABC中 已知a b 2 c 解三角形 解 由余弦定理得 思考1 在解三角形的过程中 求某一个角有时既可以用余弦定理 也可以用正弦定理 两种方法有什么利弊呢 思考2 我们讨论的解三角形的问题可以分为几种类型 分别怎样求解的 解三角形 是否必须已知三角形一边的长呢 问题思考 思考1 利用正弦定理可以用来解决 已知两边与其中一边的对角 的斜三角形问题 往往在这种情况下 要对三角形解的情况进行分类讨论 有时有两解 有时有一解 有时无解 但若利用余弦定理来解决这类问题 就根本不要对其加以讨论 问题思考 思考2 如果三角形的边都不确定 这个三角形就不能确定下来 问题思考 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 四类解三角形问题 1 已知两角和任意一边 求其他两边和一角 2 已知两边和其中一边的对角 求其他的边和角 3 已知两边和它们的夹角 求第三边和其他两个角 4 已知三边 求三个角 定理解析 2 在 ABC中 1 在 ABC中 3 已知等腰三角形的底边长为6 一腰长为12 求顶角的余弦值 当堂检测 余弦定理可以解决的有关三角形的问题 1 已知两边及其夹角 求第三边和其他两个角 2 已知三边求三个角 3 判断三角形的形状 余弦定理 作业 推论 课堂小结 作业 不渴望能够一跃千里 只希望每天能够前进一步