第一章解三角形 1 2解三角形应用举例 正弦定理 余弦定理 三角形边与角的关系 2 大角对大边 小角对小边 温故知新 学以致用 解斜三角形中的有关名词 术语 1 坡度 斜面与地平面所成的角度 2 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中 视线在水平线上方的角叫仰角 视线在水平线下方的角叫俯角 3 方位角 从正北方向顺时针转到目标方向的夹角 4 视角 由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角 温故知新 A C B 51o 55m 75o 测量距离 例1 设A B两点在河的两岸 要测量两点之间的距离 测量者在A的同测 在所在的河岸边选定一点C 测出AC的距离是55cm BAC 51o ACB 75o 求A B两点间的距离 精确到0 1m 分析 已知两角一边 可以用正弦定理解三角形 测量距离 解 根据正弦定理 得 答 A B两点间的距离为65 7米 A B C D A B a 解 如图 测量者可以在河岸边选定两点C D 设CD a BCA ACD CDB ADB 分析 用例1的方法 可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离 再测出 BCA的大小 借助于余弦定理可以计算出A B两点间的距离 解 测量者可以在河岸边选定两点C D 测得CD a 并且在C D两点分别测得 BCA ACD CDB BDA 在ADC和BDC中 应用正弦定理得 计算出AC和BC后 再在ABC中 应用余弦定理计算出AB两点间的距离 注 阅读教材P12 了解基线的概念 跟踪训练 练习1 一艘船以32 2nmile hr的速度向正北航行 在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向 30min后航行到B处 在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向 已知距离此灯塔6 5nmile以外的海区为航行安全区域 这艘船可以继续沿正北方向航行吗 练习2 自动卸货汽车的车厢采用液压机构 设计时需要计算油泵顶杆BC的长度 已知车厢的最大仰角是60 油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1 95m AB与水平线之间的夹角为6 20 AC长为1 40m 计算BC的长 精确到0 01m 1 什么是最大仰角 2 例题中涉及一个怎样的三角形 在 ABC中已知什么 要求什么 练习2 自动卸货汽车的车厢采用液压机构 设计时需要计算油泵顶杆BC的长度 已知车厢的最大仰角是60 油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1 95m AB与水平线之间的夹角为6 20 AC长为1 40m 计算BC的长 精确到0 01m 已知 ABC中AB 1 95m AC 1 40m 夹角 CAB 66 20 求BC 解 由余弦定理 得 答 顶杆BC约长1 89m 1 底部可以到达的 测量出角C和BC的长度 解直角三角形即可求出AB的长 测量高度 图中给出了怎样的一个几何图形 已知什么 求什么 想一想 2 底部不能到达的 测量高度 例3AB是底部B不可到达的一个建筑物 A为建筑物的最高点 设计一种测量建筑物高度AB的方法 分析 由于建筑物的底部B是不可到达的 所以不能直接测量出建筑物的高 由解直角三角形的知识 只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA 并测出由点C观察A的仰角 就可以计算出建筑物的高 所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长 解 选择一条水平基线HG 使H G B三点在同一条直线上 由在H G两点用测角仪器测得A的仰角分别是 CD a 测角仪器的高是h 那么 在ACD中 根据正弦定理可得 例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物 A为建筑物的最高点 设计一种测量建筑物高度AB的方法 分析 根据已知条件 应该设法计算出AB或AC的长 CD BD BC 177 27 3 150 m 答 山的高度约为150米 解 在 ABC中 BCA 90 ABC 90 BAC BAD 根据正弦定理 例3 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北150的方向上 行驶5km后到达B处 测得此山顶在西偏北250的方向上 仰角为80 求此山的高度CD 分析 要测出高CD 只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长 根据已知条件 可以计算出BC的长 例5一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶 到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15 的方向上 行驶5km后到达B处 测得此山顶在东偏南25 的方向上 仰角8 求此山的高度CD 解 在 ABC中 A 15 C 25 15 10 根据正弦定理 CD BC tan DBC BC tan8 1047 m 答 山的高度约为1047米 变式 某人在M汽车站的北偏西200的方向上的A处 观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶 公路的走向是M站的北偏东400 开始时 汽车到A的距离为31千米 汽车前进20千米后 到A的距离缩短了10千米 问汽车还需行驶多远 才能到达M汽车站 跟踪训练 测量角度 例6一艘海轮从A出发 沿北偏东75 的方向航行67 5nmile后到达海岛B 然后从B出发 沿北偏东32 的方向航行54 0nmile后到达海岛C 如果下次航行直接从A出发到达C 此船应该沿怎样的方向航行 需要航行多少距离 角度精确到0 1 距离精确到0 01nmile 解 在 ABC中 ABC 180 75 32 137 根据余弦定理 当堂检测 解 如图 在 ABC中 由正弦定理可得 因为BC AB 所以A为锐角 A 14 15 B 180 A C 85 45 又由正弦定理 答 活塞移动的距离为81mm 解 如图 在 ABC中由余弦定理得 我舰的追击速度为14海里 小时 又在 ABC中由正弦定理得 故我舰航行的方向为北偏东 3 3 5m长的木棒斜靠在石堤旁 棒的一端离堤足1 2m的地面上 另一端沿堤上2 8m的地方 求地对地面的倾斜角 实际问题 课堂小结 作业 不渴望能够一跃千里 只希望每天能够前进一步