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_._炎德英才大联考湖南师大附中2019届高三月考试卷(四)数学(理科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共8页。时量120分钟。满分150分。第卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(1)复数(D)(A)12i (B)12i(C)12i (D)12i(2)执行如图所示的程序框图,则输出的i值为(B)(A)3 (B)4 (C)5 (D)6(3)设向量a,b均为单位向量,且|ab|1,则a与b夹角为(C)(A) (B) (C) (D)(4)设m、n是两条不同的直线,、是两个不同的平面,给出下列四个命题: 若m,n,则mn;若mn,n,则m;若mn,n,m,则;若mnA,m,m,n,n,则.其中真命题的个数是(C)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(5)已知函数yax,yxb,ylogcx的图象如图所示,则(C)(A)abc(B)acb(C)cab(D)cba(6)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等,侧视图中的两条半径互相垂直,若该几何体的体积是,则它的表面积是(D)(A) (B) (C) 3 (D) 4(7)已知数列an,bn满足a11,且an,an1方程x2bnx2n0的两根,则b10等于(D)(A)24 (B)32 (C)48 (D)64(8)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有(B)(A)40种 (B)60种 (C)100种 (D)120种(9)已知F1、F2分别是双曲线C:1的左、右焦点,若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上(O为原点),则双曲线C的离心率为(D)(A) (B)3 (C) (D)2(10)如果对于任意实数x,x表示不超过x的最大整数. 例如3.273,0.60.那么“xy”是“|xy|0时,函数yff(x)1的零点个数为(D)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】结合图象分析当k0时,ff(x)1,则f(x)t1或f(x)t2(0,1)对于f(x)t1,存在两个零点x1、x2;对于f(x)t2,存在两个零点x3、x4,共存在4个零点,故选D.选择题答题卡题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)答案DBCCCDDBDACD第卷本卷包括必考题和选考题两部分第(13)(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答第(22)(23)题为选考题,考生根据要求作答二、填空题:本题共4小题,每小题5分(13)在二项式的展开式中,x的一次项系数为_80_(用数字作答)(14)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有圆堢瑽,周四丈八尺,高一丈一尺问积几何?答曰:二千一百一十二尺术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”这里所说的圆堢瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”就是说:圆堢瑽(圆柱体)的体积V(底面的圆周长的平方高),则该问题中圆周率的取值为_3_【解析】由题意,圆堢瑽(圆柱体)底面的圆周长48尺,高11尺,体积为2 112(立方)尺,设圆堢瑽(圆柱体)的底面半径为r,则 ,解得3, r8,故答案为:3.(15)若x,y满足 ,则2xy的取值范围是_0,3_(16)函数f(x)sin (x)的导函数yf(x)的部分图象如图所示,其中,A,C为图象与x轴的两个交点,B为图象的最低点若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点,则该点在ABC内的概率为_【解析】由f(x)cos(x)知|AC|,|yB|,所以SABC|AC|yB| ,设A(x0,0) ,则x0,C,设曲线段与x轴所围成的区域的面积为S,则S|x0x0f(x)dx|x0x0f(x)dxf(x)|x0x0f(x0)fsin(x0)sinsinsin2. 所以该点在ABC内的概率P.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,函数f(x)2sin(xA)cos xsin(BC)(xR),f(x)的图象关于点对称()当x时,求f(x)的值域;()若a7且sin Bsin C,求ABC的面积【解析】()f(x)2sin(xA)cos xsin(BC)2(sin xcos Acos xsin A)cos xsin A2sin xcos xcos A2cos2xsin Asin Asin 2xcos Acos2xsin Asin(2xA),由函数f(x)的图象关于点对称,知f0,即sin 0,又0A,故A,所以f(x)sin,当x时,2x,所以 sin1.即f(x)的值域为;()由正弦定理得,则sin Bb,sin Cc,所以sin Bsin C(bc),即bc13,由余弦定理a2b2c22bccos A,得49b2c2bc(bc)23bc,从而bc40,则ABC的面积为Sbcsin A4010.(18)(本小题满分12分)某网络营销部门为了统计某市网友2016年11月11日在某淘宝店的网购情况,随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况,得到如下数据统计表(如表):网购金额(单位:千元)频数频率(0,0.530.05(0.5,1xp(1,1.590.15(1.5,2150.25(2,2.5180.30(2.5,3yq合计601.00若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”,网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”,已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为32.()试确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(如图)()该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验,从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人,若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查设为选取的3人中“网购达人”的人数,求的分布列和数学期望【解析】()根据题意,有,解得.p0.15,q0.10.补全频率分布直方图如图所示()用分层抽样的方法,从中选取10人,则其中“网购达人”有104人,“非网购达人”有106人故的可能取值为0,1,2,3;P(0),P(1),P(2),P(3).所以的分布列为:0123P:E()0123.(19)(本小题满分12分)如图,正方形ABCD的边长为4,E,F分别为BC,DA的中点将正方形ABCD沿着线段EF折起,使得DFA60. 设G为AF的中点()求证:DGEF;()求直线GA与平面BCF所成角的正弦值;()设P,Q分别为线段DG,CF上一点,且PQ平面ABEF,求线段PQ长度的最小值【解析】()因为正方形ABCD中,E,F分别为BC,DA的中点,所以EFFD,EFFA,将正方形ABCD沿着线段EF折起后,仍有EFFD,EFFA,而FDFAF,所以EF平面DFA.又因为DG平面DFA,所以DGEF.()因为DFA60,DFFA,所以DFA为等边三角形,又AGGF,故DGFA.由(),DGEF,又EFFAF,所以DG平面ABEF.设BE的中点为H,连接GH,则GA,GH,GD两两垂直,故以GA,GH,GD分别为x轴、y轴和z轴,建立空间直角坐标系如图,则G(0,0,0),A(1,0,0),B(1,4,0),C(0,4,),F(1,0,0),:.所以(1,0,0),(1,0,),(2,4,0)设平面BCF的一个法向量为m(x,y,z), 由m0,m0,得令z2,得m(2,2)设直线GA与平面BCF所成角为,则sin |cosm,|.即直线GA与平面BCF所成角的正弦值为.:()由题意,可设P(0,0,k)(0k),(01),由(1,4,),得(,4,),所以Q(1,4,),(1,4,k)由(),得(0,0,)为平面ABEF的法向量因为PQ平面ABEF,所以0,即k0.所以|,又因为1722117,所以当时,|min.所以当,k时,线段PQ长度有最小值.(20)(本小题满分12分)已知椭圆E:1(ab0)的离心率为,以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4.()求椭圆E的方程;()设A,B分别为椭圆E的左、右顶点,P是直线x4上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP, BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M、N,试探究,点B是否在以MN为直径的圆内?证明你的结论【解析】()依题意得,2a2b4,又a2b2c2,由此解得a2,b.所以椭圆E的方程为 1.()点B在以MN为直径的圆内证明如下:方法1:由()得A(2,0),B(2,0)设M(x0,y0)M点在椭圆上,y02(4x02)又点M异于顶点A、B,2x00,0,于是MBP为锐角,从而MBN为钝角,故点B在以MN为直径的圆内方法2:由()得A(2,0),B(2,0)设M(x1,y1),N(x2,y2),则2x12,2x22,又MN的中点Q的坐标为,依题意,计算点B到圆心Q的距离与半径的差|BQ|2|MN|2(x
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