2.2.3 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1平移变换问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可例1 求把二次函数yx24x3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式解：二次函数y2x24x3的解析式可变为 y2(x1)21，其顶点坐标为(1，1)（1）把函数y2(x1)21的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y2(x3)22（2）把函数y2(x1)21的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y2(x1)222对称变换问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？xyOx1A(1,1)图2.27我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题例2 求把二次函数y2x24x1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：（1）直线x1；（2）直线y1 解：（1）如图227，把二次函数y2x24x1的图象关于直线x1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状由于y2x24x12(x1)21，可知，函数y2x24x1图象的顶点为A(1,1)，所以，对称后所得到图象的顶点为A1(3，1)，所以，二次函数y2x24x1的图象关于直线x1对称后所得到图象的函数解析式为y2(x3)21，即y2x212x17（2）如图228，把二次函数y2x24x1的图象关于直线x1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状xyOy1A(1,1)B(1，3)图2.28 由于y2x24x12(x1)21，可知，函数y2x24x1图象的顶点为A(1,1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向下，所以，二次函数y2x24x1的图象关于直线y1对称后所得到图象的函数解析式为y2(x1)23，即y2x24x1二、分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数 例3 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0x100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20x40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数这个函数的解析式为 由上述的函数解析式，可以得到其图象如图229所示ACBDP图2.210例4如图92所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点设点A移动的路程为x，PAC的面积为y（1）求函数y的解析式；（2）画出函数y的图像； （3）求函数y的取值范围分析：要对点P所在的位置进行分类讨论解：（1）当点P在线段AB上移动（如图2210），即0x2时，yx；当点P在线段BC上移动（如图2210），即2x4时，y4x；当点P在线段CD上移动（如图2210），即4x6时，yx4；当点P在线段DA上移动（如图2210），即6x8时，