4 3直线与圆锥曲线的交点 第1课时直线与圆锥曲线的交点 1 了解直线与圆锥曲线的三种位置关系 2 掌握求解有关直线与圆锥曲线的问题的方法 3 加强数形结合思想方法的训练与应用 2 方程组的解与曲线交点的关系方程组有几组不同的实数解 两条曲线就有几个不同的交点 方程组没有实数解 两条曲线就无交点 说明 1 直线与椭圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 判别方法 通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组 对解的个数进行讨论 通常消去方程组中的一个变量 得到关于另一个变量的一元二次方程 a 0 直线与椭圆相交 有两个公共点 b 0 直线与椭圆相切 有且只有一个公共点 c 0 直线与椭圆相离 无公共点 2 直线与双曲线的位置关系 研究直线与双曲线的位置关系 一般通过解直线方程与双曲线方程所组成的方程组对解的个数进行讨论 有两组不同的实数解 0 时 直线与双曲线相交 有两组相同的实数解 0 时 直线与双曲线相切 无实数解 0 时 直线与双曲线相离 当直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交且只有一个交点 3 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系 相交 相切 相离 相交 直线与抛物线交于两个不同的点 或直线与抛物线的对称轴平行 或重合 相切 直线与抛物线有且只有一个公共点 且直线不平行于 或不重合于 抛物线的对称轴 相离 直线与抛物线没有公共点 判别方法 把直线的方程和抛物线的方程联立起来得到一个方程组 于是 a 方程组有一组解 直线与抛物线相交或相切 1个公共点 b 方程组有两组解 直线与抛物线相交 2个公共点 c 方程组无解 直线与抛物线相离 做一做1 抛物线与直线有一个公共点是直线与抛物线相切的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件解析 当直线与抛物线的对称轴平行或重合时 与抛物线也有一个公共点 答案 B 做一做2 已知直线y kx 1与椭圆相切 则k a之间的关系式为 A 4a 4k2 1B 4k2 a 1C a 4k2 1D a 4k2 1解析 联立两方程后 利用一元二次方程的判别式来判断 答案 D 做一做3 给出下列曲线 其中与直线y 2x 3有交点的所有曲线是 4x 2y 1 0 x2 y2 3 A B C D 解析 如果不深入思考 采用直线方程y 2x 3与四个曲线方程分别联立求交点 比较复杂 且易出现差错 作为选择题 可考虑采用排除法 y 2x 3可变形为4x 2y 6 0 显然与直线4x 2y 1 0平行 故排除选项A C 故已知直线与曲线 有交点 可排除选项B 故选D 答案 D 题型一 题型二 题型三 例1 已知抛物线的方程为y2 4x 直线l过定点P 2 1 斜率为k 当k为何值时 直线l与抛物线y2 4x只有一个公共点 有两个公共点 没有公共点 分析 用解析法解决这个问题 只要讨论直线l的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况 由方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思研究曲线公共点的个数 主要是依据方程组解的情况来判定 特别是直线与曲线公共点的个数问题 多用判别式来研究 尤其要注意的是对二次项系数是否为零要加以讨论 题型一 题型二 题型三 变式训练1 已知直线l kx y 2 0 双曲线C x2 4y2 4 当k为何值时 1 l与C无公共点 2 l与C有唯一公共点 3 l与C有两个不同的公共点 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思当题目涉及中点弦且已知中点坐标或中点的一个坐标时经常采用点差法 设而不求 利用中点坐标公式建立联系 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 易错点忽略点与曲线的位置关系 例3 对于抛物线y2 8x 是否存在以 2 5 为中点的弦 若存在 求出此弦所在的直线方程 若不存在 请说明理由 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 错因分析 此弦存在的条件是点 2 5 必须在抛物线的开口内 而将点 2 5 的坐标代入y2 8x 可以发现52 8 2 0 即此点在抛物线开口外 则以点 2 5 为中点的弦不存在 题型一 题型二 题型三 12345 12345 12345 12345 12345 若4b2 9a2 0 即时 二次方程 的判别式 542a4 36 4b2 9a2 4b2 9a2 36 81a4 16b4 81a4 36 16b4 0 此时直线l与双曲线必有两个交点 综上可知 l共有3条 其方程为x 3 0或2x 3y 6 0 答案 3x 3 0或2x 3y 6 0 12345 5 已知椭圆x2 4y2 4 直线l y x m 1 若l与椭圆有一个公共点 求m的值 2 若l与椭圆相交于P Q两点 且 PQ 等于椭圆的短轴长 求m的值