第4节三角函数的图象与性质 知识梳理 1 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 1 2 正弦 余弦 正切函数的图象与性质 下表中k Z 1 1 1 1 2 2 奇函数 偶函数 2k 2k 2k 2k k 0 x k 微点提醒 1 对称与周期 基础自测 1 判断下列结论正误 在括号内打 或 1 余弦函数y cosx的对称轴是y轴 2 正切函数y tanx在定义域内是增函数 3 已知y ksinx 1 x R 则y的最大值为k 1 4 y sin x 是偶函数 解析 1 余弦函数y cosx的对称轴有无穷多条 y轴只是其中的一条 3 当k 0时 ymax k 1 当k 0时 ymax k 1 答案 1 2 3 4 2 必修4P46A2 3改编 若函数y 2sin2x 1的最小正周期为T 最大值为A 则 A T A 1B T 2 A 1C T A 2D T 2 A 2 答案A 答案C 答案A 考点一三角函数的定义域 规律方法1 三角函数定义域的求法 1 以正切函数为例 应用正切函数y tanx的定义域求函数y Atan x 的定义域转化为求解简单的三角不等式 2 求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式 2 简单三角不等式的解法 1 利用三角函数线求解 2 利用三角函数的图象求解 考点二三角函数的值域与最值 规律方法求解三角函数的值域 最值 常见三种类型 1 形如y asinx bcosx c的三角函数化为y Asin x c的形式 再求值域 最值 2 形如y asin2x bsinx c的三角函数 可先设sinx t 化为关于t的二次函数求值域 最值 3 形如y asinxcosx b sinx cosx c的三角函数 可先设t sinx cosx 化为关于t的二次函数求值域 最值 考点三三角函数的单调性多维探究角度1求三角函数的单调区间 角度2利用单调性比较大小 答案A 角度3利用单调性求参数 例3 3 2018 全国 卷 若f x cosx sinx在 a a 是减函数 则a的最大值是 答案A 规律方法1 已知三角函数解析式求单调区间 1 求函数的单调区间应遵循简单化原则 将解析式先化简 并注意复合函数单调性规律 同增异减 2 求形如y Asin x 或y Acos x 其中 0 的单调区间时 要视 x 为一个整体 通过解不等式求解 但如果 0 那么一定先借助诱导公式将 化为正数 防止把单调性弄错 2 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 的范围的问题 首先 明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集 其次 要确定已知函数的单调区间 从而利用它们之间的关系可求解 另外 若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷 2 sin68 cos22 又y cosx在 0 180 上是减函数 sin68 cos23 cos97 考点四三角函数的周期性 奇偶性 对称性多维探究角度1三角函数奇偶性 周期性 例4 1 1 2018 全国 卷 已知函数f x 2cos2x sin2x 2 则 A f x 的最小正周期为 最大值为3B f x 的最小正周期为 最大值为4C f x 的最小正周期为2 最大值为3D f x 的最小正周期为2 最大值为4 答案 1 B 2 A 角度2三角函数图象的对称性 答案 1 C 2 B 2 A项 因为f x 的周期为2k k Z且k 0 所以f x 的一个周期为 2 A项正确 答案 1 C 2 D 思维升华 1 讨论三角函数性质 应先把函数式化成y Asin x 0 的形式 2 对于函数的性质 定义域 值域 单调性 对称性 最值等 可以通过换元的方法令t x 将其转化为研究y sint 或y cost 的性质 3 数形结合是本节的重要数学思想 易错防范 1 闭区间上最值或值域问题 首先要在定义域基础上分析单调性 含参数的最值问题 要讨论参数对最值的影响 2 要注意求函数y Asin x 的单调区间时A和 的符号 尽量化成 0时情况 避免出现增减区间的混淆 3 求三角函数的单调区间时 当单调区间有无穷多个时 别忘了注明k Z