1 3 2函数的极值与导数 a b x y O 定义 一般地 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近的所有的点 都有 我们就说f x0 是f x 的一个极大值 点x0叫做函数y f x 的极大值点 反之 若 则称f x0 是f x 的一个极小值 点x0叫做函数y f x 的极小值点 极小值点 极大值点统称为极值点 极大值和极小值统称为极值 观察上述图象 试指出该函数的极值点与极值 并说出哪些是极大值点 哪些是极小值点 1 函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的 在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值 2 极大值不一定比极小值大 3 可导函数f x 点是极值点的必要条件是在该点的导数为0 例 y x3 练习1 下图是导函数的图象 试找出函数的极值点 并指出哪些是极大值点 哪些是极小值点 a b x y x1 O x2 x3 x4 x5 x6 因为所以 例1求函数的极值 解 令解得或 当 即 或 当 即 当x变化时 f x 的变化情况如下表 单调递增 单调递减 单调递增 所以 当x 2时 f x 有极大值28 3 当x 2时 f x 有极小值 4 3 求解函数极值的一般步骤 1 确定函数的定义域 2 求方程f x 0的根 3 用方程f x 0的根 顺次将函数的定义域分成若干个开区间 并列成表格 4 由f x 在方程f x 0的根左右的符号 来判断f x 在这个根处取极值的情况 练习2 求下列函数的极值 解 令解得列表 单调递增 单调递减 所以 当时 f x 有极小值 练习2 求下列函数的极值 解 解得列表 单调递增 单调递减 单调递增 所以 当x 3时 f x 有极大值54 当x 3时 f x 有极小值 54 练习2 求下列函数的极值 解 解得 所以 当x 2时 f x 有极小值 10 当x 2时 f x 有极大值22 解得 所以 当x 1时 f x 有极小值 2 当x 1时 f x 有极大值2 习题A组 4 下图是导函数的图象 在标记的点中 在哪一点处 1 导函数有极大值 2 导函数有极小值 3 函数有极大值 4 函数有极小值 或