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公平席位分配模型班级:09数学(2)班 姓名:韩文斌 学号:0907022011摘要:通过建立人数比例模型、最大剩余法模型及Q值法模型解决了公平席位的分配问题。比较三种模型分配的结果方案,我发现了Q值法模型是解决公平席位分配问题较公平的方法。关键词:公平分配 绝对不公平程度 Q值法模型正 文1 问题的提出某学校有3个系共100名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名。1.1 若学生代表会议设20个席位,公平而又简单的席位分配办法是什么?1.2 现在丙系有6名学生转入甲乙两系(其中3人转入甲系,3人转入乙系),现在该如何分配呢?1.3 因为有20个席位的代表会议在表决提案时可能出现10:10的结局,会议决定下一届增加1席。在问题二中人数发生改变后的情况下,这1席又该分给哪个系呢?2 合理假设与变量说明假设3个系的总人数不再发生变动,各个系的人数除了问题二中人数的改动之外,不再发生任何改变。符号符号说明3个系的总人数系的人数 =1,2,33个系的总席数系的席数 =1,2,3 的余数系与系的绝对不公平程度系与系的相对不公平程度3 模型建立3.1 人数比例模型公平标准 , =1,2,3通过计算总席位与总人数、各系席位数与各系总人数的比例相等,来确定各系的席位数的分配方案。3.2 最大剩余法模型记的余数,越大说明系分一个席位代表人数就越多,为了公平降低,则剩余席位优先分给最大的系。3.3 Q值法模型1当总席位增加1席时,计算令,增加1席位应该分配给值最大的一方。3.3.1 不公平指标为简单起见考虑,两系分配席位的情况。设两方人数分别为,,占有席位分别为,则比值,为两方每个席位所代表的人数。显然仅当分配时才算完全公平的,但是因为人数和席位都是整数,所以通常,分配不公平,并且对比值较大的一方不公平。不妨设,不公平程度可用衡量。如设,,则,它衡量不公平的绝对程度,常常无法区分不公平程度明显不同的情况。如当双方人数增至,、不变时,则。即不公平的绝对程度不变,但是常识告诉我们,后面这种情况的不公平程度比起前面来已经大为改善了。为了改进上述的绝对标准,自然想到用相对标准。仍设,定义 (1)(1)即为A方的相对不公平度。若,定义 (2)(2)即为对B方的相对不公平度。3.3.2 分配原则假设A,B两方已经占有席位、。利用相对不公平度,讨论当总席位增加1席时,应该分配给A还是B不失一般性可设,大于号成立时对A不公平。若增设1席分配给A,就变为,分配给B就有,原不等式可能出现以下3种情况(只需讨论不等号的情况,一旦等号出现,按等式状况分配即可)(1),说明即使A增加1席仍对A 不公平,则这一席显然该分给A。说明即使A增加1席仍对A 不公平,则这一席显然该分给A。(2),说明A增加1席对B不公平。由(2)可得出对B的相对不公平度为 (3)3.3.3 ,说明B增加1席将对A不公平。参(1)可得出对A的相对不公平度为 (4)在使相对不公平度尽量小的分配原则下,如果 (5)则增加的1席应该分给A,反之分给B。由(3)(4)两式,(5)式等价于 (6)同时不难证明上述第1种情况,也会导致(6)式,于是我们的结论是:当(6)式成立时增加1席位应分给A,反之分给B。这种方法可推广到有m方分配席位的情况。设第i方人数为,已占有个席位,i=1,2,3当总席位增加1席时,计算令,增加1席位应该分配给值最大的一方。4 模型的求解问题1.1;模型一的求解:结果为: 模型二的求解:结果为:模型三的求解:当总席位增加1席时,计算令,增加1席位应该分配给值最大的一方。结果为:问题1.2;模型一的求解:结果为: 模型二的求解:,比较的余数,发现应该把多出的一席分给3系。结果为 模型三的求解:当总席位增加1席时,计算令,增加1席位应该分配给值最大的一方。结果为:问题1.3;模型一的求解:结果为: 模型二的求解:,得到的结果为,然后比较的余数大小。结果为 模型三的求解:当总席位增加1席时,计算令,增加1席位应该分配给值最大的一方。结果为: 5 模型的检验对于模型三中的第一种情况,即增加的1席分配给A方,变为,又因为结合上述两式,得到,即按照相对不公平度尽量小的原则,增加的一席应该分配给A方,即对第一种情况,仍然包含在中,这说明模型三是正确的。6 应用与推广值分配法可以用于一系列的席位分配。7 优缺点分析当总席位=21时,模型三的求解结果为:,模型三的求解结果为:,3系保住了按照比例+惯例模型将会失掉的1席。但是当总席位=20时,模型三的求解结果为:,模型三的求解结果为:,所以很难说值分配法对3系有利还是不利。虽然从值分配法和比例+惯例模型对这个具体问题不同的分配结果看,难以对二者进行评价,但是值分配法有明确的不公平度指标,并且它是每增加1席的计算值,所以值分配法比比例+惯例模型更科学。参考文献1 姜启源,谢金星.数学模型(第四版)M北京:高等教育出版社,2011:278-281.最新范本,供参考!
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