1 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无 效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本题共12 小题 每小题5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 设 1i 2i 1i z 则 z A 0B 1 2 C 1D 2 2 已知集合 2 20Ax xx 则 A R e A 12xx B 12xx C 1 2x xx xU D 1 2x xx xU 3 某地区经过一年的新农村建设 农村的经济收入增加了一倍 实现翻番 为更好地了解该地区 农村的经济收入变化情况 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例 得到如下饼 图 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A 新农村建设后 种植收入减少 B 新农村建设后 其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后 养殖收入增加了一倍 2 D 新农村建设后 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4 设 n S 为等差数列 n a的前n项和 若 324 3SSS 1 2a 则5 a A 12B 10C 10D 12 5 设函数 32 1 f xxaxax 若 f x为奇函数 则曲线 yf x在点 0 0 处的切线方 程为 A 2yxB yxC 2yxD yx 6 在 ABC 中 AD为BC 边上的中线 E为AD 的中点 则 EB uuu r A 31 44 ABAC uu u ruuu r B 13 44 ABAC u uu ru uu r C 31 44 ABAC u uu ruuu r D 13 44 ABAC uu u ruuu r 7 某圆柱的高为2 底面周长为16 其三视图如图 圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A 圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B 则在此圆柱侧面上 从M到N的路径中 最短 路径的长度为 A 172 B 52 C 3 D 2 8 设抛物线C y 2 4x 的焦点为F 过点 2 0 且斜率为 2 3 的直线与C交于M N两点 则 FMFN uuu u r u uu r A 5 B 6 C 7 D 8 9 已知函数 e0 ln0 x x f x xx g xf xxa 若g x 存在 2 个零点 则a的取值范围 是 A 1 0 B 0 C 1 D 1 10 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形 此图由三个半圆构成 三个半圆的直径 分别为直角三角形ABC的斜边BC 直角边AB AC ABC的三边所围成的区域记为I 黑色部 分记为II 其余部分记为III 在整个图形中随机取一点 此点取自I II III的概率分别 记为p1 p2 p3 则 3 A p1 p2 B p1 p3 C p2 p3 D p1 p2 p3 11 已知双曲线C 2 2 1 3 x y O为坐标原点 F为C的右焦点 过F的直线与C的两条渐近线的 交点分别为M N 若 OMN为直角三角形 则 MN A 3 2 B 3 C 2 3D 4 12 已知正方体的棱长为1 每条棱所在直线与平面 所成的角相等 则 截此正方体所得截面 面积的最大值为 A 3 3 4 B 2 3 3 C 3 2 4 D 3 2 二 填空题 本题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 若 x y满足约束条件 220 10 0 xy xy y 则32zxy 的最大值为 14 记 n S 为数列 n a的前 n项和 若21 nn Sa 则 6 S 15 从 2 位女生 4 位男生中选3 人参加科技比赛 且至少有1 位女生入选 则不同的选法共有 种 用数字填写答案 16 已知函数2sinsin2fxxx 则fx的最小值是 三 解答题 共70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第17 21 题为必考题 每个 试题考生都必须作答 第22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 60 分 17 12 分 在平面四边形ABCD中 90ADC o 45A o 2AB 5BD 1 求cos ADB 2 若2 2DC 求BC 18 12 分 如图 四边形ABCD为正方形 E F分别为 AD BC的中点 以DF为折痕把DFC 折起 使 点C到达点P的位置 且PFBF 1 证明 平面PEF平面ABFD 4 2 求DP与平面ABFD所成角的正弦值 19 12 分 设椭圆 2 2 1 2 x Cy的右焦点为F 过F的直线l与C交于 A B两点 点M的坐标为 2 0 1 当l与x轴垂直时 求直线 AM 的方程 2 设O为坐标原点 证明 OMAOMB 20 12 分 某工厂的某种产品成箱包装 每箱200 件 每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验 如检验出 不合格品 则更换为合格品 检验时 先从这箱产品中任取20 件作检验 再根据检验结果决定是 否对余下的所有产品作检验 设每件产品为不合格品的概率都为 10 pp 且各件产品是否为 不合格品相互独立 1 记 20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为 pf 求 pf的最大值点 0 p 2 现对一箱产品检验了20 件 结果恰有2 件不合格品 以 1 中确定的 0 p作为p的值 已知 每件产品的检验费用为2 元 若有不合格品进入用户手中 则工厂要对每件不合格品支付25 元的 赔偿费用 学 科网 i 若不对该箱余下的产品作检验 这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X 求EX ii 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据 是否该对这箱余下的所有产品作检验 21 12 分 已知函数 1 lnf xxax x 1 讨论 f x的单调性 2 若 f x存在两个极值点 12 x x 证明 12 12 2 fxfx a xx 二 选考题 共10 分 请考生在第22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计 分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系xOy中 曲线 1 C的方程为 2yk x 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极 坐标系 曲线 2 C的极坐标方程为 2 2cos30 1 求 2 C的直角坐标方程 5 2 若 1 C与 2 C有且仅有三个公共点 求 1 C的方程 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知 1 1 f xxax 1 当1a时 求不等式 1f x的解集 2 若 0 1 x时不等式 f xx成立 求a的取值范围 6 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B A B D A B D C A B A 13 6 14 63 15 16 16 3 3 2 17 12 分 解 1 在ABD 中 由正弦定理得 sinsin BDAB AADB 由题设知 52 sin 45sinADB 所以 2 sin 5 ADB 由题设知 90ADB 所以 223 cos1 255 ADB 2 由题设及 1 知 2 cossin 5 BDCADB 在BCD 中 由余弦定理得 222 2cosBCBDDCBD DCBDC 2 258252 2 5 25 所以5BC 18 12 分 解 1 由已知可得 BF PF BF EF 所以BF 平面PEF 又BF平面ABFD 所以平面PEF 平面ABFD 2 作PH EF 垂足为H 由 1 得 PH 平面ABFD 以H为坐标原点 HF uuu r 的方向为y轴正方向 BF uuu r 为单位长 建立如图所示的空间直角坐标系 H xyz 7 由 1 可得 DE PE 又DP 2 DE 1 所以PE 3 又PF 1 EF 2 故PE PF 可得 33 22 PHEH 则 3333 0 0 0 0 0 1 0 1 2222 HPDDP u uu r 3 0 0 2 HP uuu r 为平面ABFD的法向量 设DP与平面ABFD所成角为 则 3 3 4 sin 4 3 HP DP HPDP uuu r uu u r uuu ruuu r 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为 3 4 19 12 分 解 1 由已知得 1 0 F l的方程为x 1 由已知可得 点A的坐标为 2 1 2 或 2 1 2 所以AM的方程为 2 2 2 yx或 2 2 2 yx 2 当l与x轴重合时 0OMAOMB 当l与x轴垂直时 OM为AB的垂直平分线 所以OMAOMB 当l与x轴不重合也不垂直时 设l的方程为 1 0 yk xk 1221 AyxyxB 则 12 2 2xx 直线MA MB的斜率之和为 2 12 1 22 MAMB xx yy kk 由 1122 ykkxykxk得 1212 12 23 4 2 2 MAMB x xxxkk xx k kk 将 1 yk x代入 2 2 1 2 x y得 2222 21 4220kxk xk 8 所以 2 1221 2 22 422 2121 xxx kk k x k 则 3 1 3 1 3 222 441284 23 40 21 kkkkk kkk k x xxx 从而0 MAMB kk 故MA MB的倾斜角互补 所以OMAOMB 综上 OMAOMB 20 12 分 解 1 20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为 2218 20 C 1 fppp 因此 218217217 2020 C 2 1 18 1 2C 1 1 10 fpppppppp 令 0fp 得0 1p 当 0 0 1 p时 0fp 当 0 1 1 p时 0fp 所以 fp的最大值点为 0 0 1p 2 由 1 知 0 1p i 令Y表示余下的180 件产品中的不合格品件数 依题意知 180 0 1 YB 20 225XY 即4025XY 所以 4025 4025490EXEYEY ii 如果对余下的产品作检验 则这一箱产品所需要的检验费为400 元 由于400EX 故应该对余下的产品作检验 21 12 分 解 1 f x的定义域为 0 2 22 11 1 axax fx xxx i 若2a 则 0fx 当且仅当2a 1x时 0fx 所以 f x在 0 单调递减 ii 若2a 令 0fx得 2 4 2 aa x或 2 4 2 aa x 当 22 44 0 22 aaaa xU时 0fx 当 22 44 22 aaaa x时 0fx 所以 f x在 22 44 0 22 aaaa 单调递减 在 22 44 22 aaaa 单调递增 2 由 1 知 f x存在两个极值点当且仅当2a 由于 f x的两个极值点 12 x x满足 2 10 xax 所以 12 1x x 不妨设 12 xx 则 2 1x 由于 9 1212122 12121212 2 2 lnlnlnln2ln1 122 1 f xf xxxxxx aaa xxx xxxxx x x 所以 12 12 2 f xf x a xx 等价于 22 2 1 2ln0 xx x 设函数 1 2lng xxx x 由 1 知 g x在 0 单调递减 又 1 0g 从而当 1 x 时 0g x 所以 22 2 1 2ln0 xx x 即 12 12 2 f xf x a xx 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 解析 1 由cosx siny得 2 C的直角坐标方程为 22 1 4xy 2 由 1 知 2 C 是圆心为 1 0 A 半径为2的圆 由题设知 1 C是过点 0 2 B且关于 y轴对称的两条射线 记y轴右边的射线为 1 l y轴左边的射 线为 2 l 由于B在圆2 C 的外面 故1 C 与2 C 有且仅有三个公共点等价于1 l 与2 C 只有一个公共点且2 l 与 2 C有两个公共点 或 2 l与 2 C只有一个公共点且 1 l与 2 C有两个公共点 学 科网