考点一抽样方法与总体分布的估计1 2017课标全国 3 5分 某城市为了解游客人数的变化规律 提高旅游服务质量 收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量 单位 万人 的数据 绘制了下面的折线图 根据该折线图 下列结论错误的是 A 月接待游客量逐月增加 五年高考 B 年接待游客量逐年增加C 各年的月接待游客量高峰期大致在7 8月D 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月 波动性更小 变化比较平稳 答案A本题考查统计 数据分析 观察2014年的折线图 发现从8月至9月 以及10月开始的三个月接待游客量都是减少的 故A选项是错误的 2 2013课标全国 3 5分 0 928 为了解某地区的中小学生的视力情况 拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查 事先已了解到该地区小学 初中 高中三个学段学生的视力情况有较大差异 而男女生视力情况差异不大 在下面的抽样方法中 最合理的抽样方法是 A 简单随机抽样B 按性别分层抽样C 按学段分层抽样D 系统抽样 答案C因为男女生视力情况差异不大 而各学段学生的视力情况有较大差异 所以应按学段分层抽样 故选C 思路分析若总体由明显差异的几部分组成时 经常采用分层抽样的方法进行抽样 解题关键解此类题的关键是明确三类抽样方法的特点及各自适用的范围 考点二变量间的相关关系 统计案例 1 2015课标 3 5分 0 782 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量 单位 万吨 柱形图 以下结论中不正确的是 A 逐年比较 2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 答案D由柱形图可知 A B C均正确 2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少 所以排放量与年份负相关 D不正确 思路分析由柱形图知 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 进而得出负相关 解后反思本题重在考查识图 用图的能力 从图中提取出所需要的信息是关键 2 2017课标全国 18 12分 海水养殖场进行某水产品的新 旧网箱养殖方法的产量对比 收获时各随机抽取了100个网箱 测量各箱水产品的产量 单位 kg 其频率分布直方图如下 1 设两种养殖方法的箱产量相互独立 记A表示事件 旧养殖法的箱产量低于50kg 新养殖法的箱产量不低于50kg 估计A的概率 2 填写下面列联表 并根据列联表判断是否有99 的把握认为箱产量与养殖方法有关 3 根据箱产量的频率分布直方图 求新养殖法箱产量的中位数的估计值 精确到0 01 解析本题考查了频率分布直方图 独立性检验 1 记B表示事件 旧养殖法的箱产量低于50kg C表示事件 新养殖法的箱产量不低于50kg 由题意知P A P BC P B P C 旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 0 012 0 014 0 024 0 034 0 040 5 0 62 故P B 的估计值为0 62 新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为 0 068 0 046 0 010 0 008 5 0 66 故P C 的估计值为0 66 因此 事件A的概率估计值为0 62 0 66 0 4092 2 根据箱产量的频率分布直方图得列联表 K2 15 705 由于15 705 6 635 故有99 的把握认为箱产量与养殖方法有关 3 因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中 箱产量低于50kg的直方图面积为 0 004 0 020 0 044 5 0 340 5 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50 52 35 kg 解后反思解独立性检验问题的关注点 1 两个明确 明确两类主体 明确研究的两个问题 2 两个关键 准确画出2 2列联表 准确理解K2 3 2016课标全国 18 12分 下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量 单位 亿吨 的折线图 1 由折线图看出 可用线性回归模型拟合y与t的关系 请用相关系数加以说明 2 建立y关于t的回归方程 系数精确到0 01 预测2016年我国生活垃圾无害化处理量 附注 参考数据 yi 9 32 tiyi 40 17 0 55 2 646 参考公式 相关系数r 回归方程 t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 解析 1 由折线图中数据和附注中参考数据得 4 ti 2 28 0 55 ti yi tiyi yi 40 17 4 9 32 2 89 r 0 99 4分 因为y与t的相关系数近似为0 99 说明y与t的线性相关程度相当高 从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系 6分 2 由 1 331及 1 得 0 10 1 331 0 10 4 0 93 所以 y关于t的回归方程为 0 93 0 10t 10分 将2016年对应的t 9代入回归方程得 0 93 0 10 9 1 83 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1 83亿吨 12分 解题关键理解相关系数公式及回归方程中斜率公式的运用 特别注意 回归直线恒过样本点的中心 4 2015课标 19 12分 0 349 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费 需了解年宣传费x 单位 千元 对年销售量y 单位 t 和年利润z 单位 千元 的影响 对近8年的年宣传费xi和年销售量yi i 1 2 8 数据作了初步处理 得到下面的散点图及一些统计量的值 1 根据散点图判断 y a bx与y c d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型 给出判断即可 不必说明理由 2 根据 1 的判断结果及表中数据 建立y关于x的回归方程 3 已知这种产品的年利润z与x y的关系为z 0 2y x 根据 2 的结果回答下列问题 i 年宣传费x 49时 年销售量及年利润的预报值是多少 ii 年宣传费x为何值时 年利润的预报值最大 附 对于一组数据 u1 v1 u2 v2 un vn 其回归直线v u的斜率和截距的最小二乘估计分别为 解析 1 由散点图可以判断 y c d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型 2分 2 令w 先建立y关于w的线性回归方程 由于 68 563 68 6 8 100 6 所以y关于w的线性回归方程为 100 6 68w 因此y关于x的回归方程为 100 6 68 6分 3 i 由 2 知 当x 49时 年销售量y的预报值 100 6 68 576 6 年利润z的预报值 576 6 0 2 49 66 32 9分 ii 根据 2 的结果知 年利润z的预报值 0 2 100 6 68 x x 13 6 20 12 所以当 6 8 即x 46 24时 取得最大值 故年宣传费为46 24千元时 年利润的预报值最大 12分 思路分析 1 由散点图可选出合适的拟合函数 2 令 然后建立y关于w的线性回归方程即可 3 ii 利用转化与化归思想转化为二次函数的最值问题 解题关键利用换元的思想方法将换元为w 从而建立y关于w的线性回归方程是解决此题的关键 解析 1 由所给数据计算得 1 2 3 4 5 6 7 4 2 9 3 3 3 6 4 4 4 8 5 2 5 9 4 3 ti 2 9 4 1 0 1 4 9 28 ti yi 3 1 4 2 1 1 0 7 0 0 1 1 0 5 2 0 9 3 1 6 14 0 5 4 3 0 5 4 2 3 所求回归方程为 0 5t 2 3 2 由 1 知 0 5 0 故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加 平均每年增加0 5千元 将2015年的年份代号t 9代入 1 中的回归方程 得 0 5 9 2 3 6 8 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6 8千元 方法总结对于回归方程问题的求解 注意回归直线恒过样本点的中心 求解回归系数时 有两种不同的计算方式 在选择题中 我们可以利用回归直线恒过样本点的中心直接进行判断 考点一抽样方法与总体分布的估计1 2016山东 3 5分 某高校调查了200名学生每周的自习时间 单位 小时 制成了如图所示的频率分布直方图 其中自习时间的范围是 17 5 30 样本数据分组为 17 5 20 20 22 5 22 5 25 25 27 5 27 5 30 根据直方图 这200名学生中每周的自习时间不少于22 5小时的人数是 B组自主命题 省 区 市 卷题组 A 56B 60C 120D 140 答案D由频率分布直方图知这200名学生每周的自习时间不少于22 5小时的频率为1 0 02 0 10 2 5 0 7 则这200名学生中每周的自习时间不少于22 5小时的人数为200 0 7 140 故选D 答案A由题图可知 样本容量等于 3500 4500 2000 2 200 抽取的高中生近视人数为2000 2 50 20 故选A 3 2014山东 7 5分 为了研究某药品的疗效 选取若干名志愿者进行临床试验 所有志愿者的舒张压数据 单位 kPa 的分组区间为 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组 第二组 第五组 如图是根据试验数据制成的频率分布直方图 已知第一组与第二组共有20人 第三组中没有疗效的有6人 则第三组中有疗效的人数为 A 6B 8C 12D 18 答案C由题图可知 第一组和第二组的频率之和为 0 24 0 16 1 0 40 故该试验共选取的志愿者有 50人 所以第三组共有50 0 36 18人 其中有疗效的人数为18 6 12 4 2013重庆 4 5分 以下茎叶图记录了甲 乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩 单位 分 已知甲组数据的中位数为15 乙组数据的平均数为16 8 则x y的值分别为 A 2 5B 5 5C 5 8D 8 8 答案C由茎叶图及已知得x 5 又乙组数据的平均数为16 8 即 16 8 解得y 8 选C 则这组数据的中位数是 A 19B 20C 21 5D 23 5 2015重庆 3 5分 重庆市2013年各月的平均气温 数据的茎叶图如下 答案B由茎叶图知 平均气温在20 以下的有5个月 在20 以上的也有5个月 恰好是20 的有2个月 由中位数的定义知 这组数据的中位数为20 选B 6 2013福建 4 5分 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生 将他们的模块测试成绩分成6组 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 加以统计 得到如图所示的频率分布直方图 已知高一年级共有学生600名 据此估计 该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 A 588B 480C 450D 120 答案B从频率分布直方图可以看出 分数大于或等于60分的频率为 0 030 0 025 0 015 0 010 10 0 8 故频数为600 0 8 480 选B 7 2017江苏 3 5分 某工厂生产甲 乙 丙 丁四种不同型号的产品 产量分别为200 400 300 100件 为检验产品的质量 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验 则应从丙种型号的产品中抽取件 答案18 解析本题考查分层抽样方法及用样本估计总体 从丙种型号的产品中抽取的件数为60 18 8 2014天津 9 5分 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向 拟采用分层抽样的方法 从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查 已知该校一年级 二年级 三年级 四年级的本科生人数之比为4 5 5 6 则应从一年级本科生中抽取名学生 答案60 解析 300 60 名 9 2016四川 16 12分 我国是世界上严重缺水的国家 某市政府为了鼓励居民节约用水 计划调整居民生活用水收费方案 拟确定一个合理的月用水量标准x 吨 一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费 超出x的部分按议价收费 为了了解居民用水情况 通过抽样 获得了某年100位居民每人的月均用水量 单位 吨 将数据按照 0 0 5 0 5