18 2 1矩形 第十八章平行四边形 第1课时矩形的性质 新课标人教版八年级数学下册 1 理解矩形的概念 知道矩形与平行四边形的区别与联系 重点 2 会证明矩形的性质 会用矩形的性质解决简单的问题 重点 难点 3 掌握直角三角形斜边中线的性质 并会简单的运用 重点 观察下面图形 长方形在生活中无处不在 导入新课 情景引入 思考长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系 你还能举出其他的例子吗 讲授新课 活动1 利用一个活动的平行四边形教具演示 使平行四边形的一个内角变化 请同学们注意观察 矩形 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 也叫做长方形 归纳总结 平行四边形不一定是矩形 思考因为矩形是平行四边形 所以它具有平行四边形的所有性质 由于它有一个角为直角 它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢 可以从边 角 对角线等方面来考虑 活动2 准备素材 直尺 量角器 橡皮擦 课本 铅笔盒等 1 请同学们以小组为单位 测量身边的矩形 如书本 课桌 铅笔盒等 的四条边长度 四个角度数和对角线的长度及夹角度数 并记录测量结果 A B C D O 物体 测量 实物 形象图 2 根据测量的结果 你有什么猜想 猜想1矩形的四个角都是直角 猜想2矩形的对角线相等 你能证明吗 证明 四边形ABCD是矩形 B D C A AB DC B C 180 又 B 90 C 90 B C D A 90 如图 四边形ABCD是矩形 B 90 求证 B C D A 90 A B C D 证一证 证明 四边形ABCD是矩形 AB DC ABC DCB 90 在 ABC和 DCB中 AB DC ABC DCB BC CB ABC DCB AC DB A B C D O 如图 四边形ABCD是矩形 ABC 90 对角线AC与DB相交于点O 求证 AC DB 矩形除了具有平行四边形所有性质 还具有的性质有 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 归纳总结 几何语言描述 在矩形ABCD中 对角线AC与DB相交于点O ABC BCD CDA DAB 90 AC DB A B C D O 例1如图 在矩形ABCD中 两条对角线AC BD相交于点O AOB 60 AB 4 求矩形对角线的长 解 四边形ABCD是矩形 AC BD OA OC AC OB OD BD OA OB 又 AOB 60 OAB是等边三角形 OA AB 4 AC BD 2OA 8 A B C D O 典例精析 矩形的对角线相等且互相平分 例2如图 在矩形ABCD中 E是BC上一点 AE AD DF AE 垂足为F 求证 DF DC A B C D E F 证明 连接DE AD AE AED ADE 四边形ABCD是矩形 AD BC C 90 ADE DEC DEC AED 又 DF AE DFE C 90 又 DE DE DFE DCE DF DC 例3如图 将矩形ABCD沿着直线BD折叠 使点C落在C 处 BC 交AD于点E AD 8 AB 4 求 BED的面积 解 四边形ABCD是矩形 AD BC A 90 2 3 又由折叠知 1 2 1 3 BE DE 设BE DE x 则AE 8 x 在Rt ABE中 AB2 AE2 BE2 42 8 x 2 x2 解得x 5 即DE 5 S BED DE AB 5 4 10 矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查 思考请同学们拿出准备好的矩形纸片 折一折 观察并思考 矩形是不是轴对称图形 如果是 那么对称轴有几条 矩形的性质 对称性 对称轴 轴对称图形 2条 练一练 1 如图 在矩形ABCD中 对角线AC BD交于点O 下列说法错误的是 A AB DCB AC BDC AC BDD OA OB A B C D O C 2 如图 EF过矩形ABCD对角线的交点O 且分别交AB CD于E F 那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的 3 如图 在矩形ABCD中 AE BD于E DAE BAE 3 1 求 BAE和 EAO的度数 解 四边形ABCD是矩形 DAB 90 AO AC BO BD AC BD BAE DAE 90 AO BO 又 DAE BAE 3 1 BAE 22 5 DAE 67 5 AE BD ABE 90 BAE 90 22 5 67 5 OAB ABE 67 5 EAO 67 5 22 5 45 活动 如图 一张矩形纸片 画出两条对角线 沿着对角线AC剪去一半 问题Rt ABC中 BO是一条怎样的线段 它的长度与斜边AC有什么关系 猜想 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 试给出数学证明 O D 证明 延长BO至D 使OD BO 连接AD DC AO OC BO OD 四边形ABCD是平行四边形 ABC 90 平行四边形ABCD是矩形 AC BD 如图 在Rt ABC中 ABC 90 BO是AC上的中线 求证 BO AC BO BD AC 1 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 证一证 例4如图 在 ABC中 AD是高 E F分别是AB AC的中点 1 若AB 10 AC 8 求四边形AEDF的周长 解 AD是 ABC的高 E F分别是AB AC的中点 DE AE AB 10 5 DF AF AC 8 4 四边形AEDF的周长 AE DE DF AF 5 5 4 4 18 典例精析 2 求证 EF垂直平分AD 证明 DE AE DF AF E F在线段AD的垂直平分线上 EF垂直平分AD 当已知条件含有线段的中点 直角三角形的条件时 可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解 例5如图 已知BD CE是 ABC不同边上的高 点G F分别是BC DE的中点 试说明GF DE 解 连接EG DG BD CE是 ABC的高 BDC BEC 90 点G是BC的中点 EG BC DG BC EG DG 又 点F是DE的中点 GF DE 在直角三角形中 遇到斜边中点常作斜边中线 进而可将问题转化为等腰三角形的问题 然后利用等腰三角形 三线合一 的性质解题 如图 在 ABC中 ABC 90 BD是斜边AC上的中线 1 若BD 3cm 则AC cm 2 若 C 30 AB 5cm 则AC cm BD cm 6 10 5 练一练 当堂练习 1 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 A 对角线相等B 对边相等C 对角相等D 对角线互相平分2 若直角三角形的两条直角边分别5和12 则斜边上的中线长为 A 13B 6C 6 5D 不能确定3 若矩形的一条对角线与一边的夹角为40 则两条对角线相交的锐角是 A 20 B 40 C 80 D 10 A C C 4 如图 在矩形ABCD中 对角线AC BD相交于点O 点E F分别是AO AD的中点 若AB 6cm BC 8cm 则EF cm 2 5 5 如图 ABC中 E在AC上 且BE AC D为AB中点 若DE 5 AE 8 则BE的长为 6 第4题图 第5题图 6 如图 四边形ABCD是矩形 对角线AC BD相交于点O BE AC交DC的延长线于点E 1 求证 BD BE 2 若 DBC 30 BO 4 求四边形ABED的面积 A B C D O E 1 证明 四边形ABCD是矩形 AC BD AB CD 又 BE AC 四边形ABEC是平行四边形 AC BE BD BE 2 解 在矩形ABCD中 BO 4 BD 2BO 2 4 8 DBC 30 CD BD 8 4 AB CD 4 DE CD CE CD AB 8 在Rt BCD中 BC 四边形ABED的面积 4 8 A B C D O E 7 如图 在矩形ABCD中 AB 6 AD 8 P是AD上的动点 PE AC PF BD于F 求PE PF的值 解 连接OP 四边形ABCD是矩形 DAB 90 OA OD OC OB S AOD S DOC S AOB S BOC S矩形ABCD 6 8 12 在Rt BAD中 由勾股定理得BD 10 AO OD 5 S APO S DPO S AOD AO PE DO PF 12 即5PE 5PF 24 PE PF 能力提升 课堂小结 矩形的相关概念及性质 具有平行四边行的一切性质 四个内角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形 有两条对称轴 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形