2016 年广西高考数学一模试卷 理科 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 若集合A x x 1 3 x 0 集合 B x 1 x 0 则 A B 等于 A 1 3 B 1 C 1 3 D 1 1 2 在复平面内 复数 2i 2 对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 已知双曲线 1 b 0 的离心率等于b 则该双曲线的焦距为 A 2 B 2 C 6 D 8 4 已知 3sin2 2cos 则cos 等于 A B C D 5 已知一个算法的程序框图如图所示 当输出的结果为0 时 输入的x 的值为 A 2 B 2 或 1 C 1 或 3 D 2 或 6 已知变量x y 满足约束条件则 z 2x y 的最大值为 A 1 B 2 C 3 D 4 7 x 2 2 1 5 的展开式中x 1 的系数为 A 60 B 50 C 40 D 20 8 已知函数f x Asin x 的图象如图所示 则该函数的解析式可能是 A f x sin x B f x sin x C f x sin x D f x sin x 9 高为 4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体 它的直观图和三视图中的侧视图 俯视图如图所示 则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的 A B C D 10 若 xlog52 1 则函数f x 4 x 2x 1 3 的最小值为 A 4 B 3 C 1 D 0 11 过点 P 2 0 的直线与抛物线C y 2 4x 相交于 A B两点 且 PA AB 则点 A 到抛物线C的焦点的距离为 A B C D 2 12 若函数 f x x 2 cx 5 ex 在区间 4 上单调递增 则实数 c 的取值范围是 A 2 B 4 C 8 D 2 4 二 填空题 本大题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 已知向量 的夹角为 2 则 2 14 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 P为棱 DC的中点 则D1P与 BC1所在的直线所成角 的余弦值等于 15 包括甲 乙 丙三人在内的4 个人任意站成一排 则甲与乙 丙都相邻的概率 为 16 已知三角形ABC中 三边长分别是a b c 面积 S a 2 b c 2 b c 8 则 S的最 大值是 三 解答题 本大题共5 小题 共60 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 Sn an 1 n N 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn 2log3 1 求 18 某技术公司新开发了A B两种新产品 其质量按测试指标划分为 指标大于或等于82 为正品 小鱼82 为次品 现随机抽取这两种产品各100 件进行检测 检测结果统计如下 测试指标 70 76 76 82 82 88 88 94 94 100 产品 A 8 12 40 32 8 产品 B 7 18 40 29 6 1 试分别估计产品A 产品 B为正品的概率 2 生产一件产品A 若是正品可盈利80 元 次品则亏损10 元 生产一件产品B 若是正 品可盈利100 元 次品则亏损20 元 在 1 的前提下 记X为生产一件产品A和一件产品 B所得的总利润 求随机变量X的分布列和数学期望 19 如图 四棱锥 P ABCD的底面 ABCD 是正方形 PD 平面 ABCD E为 PB上的点 且 2BE EP 1 证明 AC DE 2 若 PC BC 求二面角E AC P的余弦值 20 已知椭圆C 1 a b 0 的右焦点为F 1 0 短轴的一个端点B到 F 的 距离等于焦距 求椭圆C的方程 过点 F的直线 l 与椭圆 C交于不同的两点M N 是否存在直线l 使得 BFM与 BFN 的面积比值为2 若存在 求出直线l 的方程 若不存在 说明理由 21 已知函数f x alnx a 0 a R 若a 1 求函数f x 的极值和单调区间 若在区间 1 e 上至少存在一点x0 使得 f x0 0 成立 求实数a 的取值范围 请考生在第22 23 24 三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 选修 4 1 几何证明选讲 22 已知 直线AB过圆心 O 交 O 于 A B 直线 AF交 O 于 A F 不与 B重合 直线 l 与 O 相切于 C 交 AB于 E 且与 AF垂直 垂足为G 连接 AC 1 求证 BAC CAG 2 求证 AC 2 AE AF 选修 4 4 坐标系与参数方程 23 已知直线l 的参数方程为 t 为参数 曲线C1的参数方程为 t 为参数 以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 且曲 线 C2的极坐标方程为 4cos 1 若直线l 的斜率为2 判断直线l 与曲线 C1位置关系 2 求 C1与 C2交点的极坐标 0 0 2 选修 4 5 不等式选讲 24 已知函数f x ax a 0 在 1 上的最小值为15 函数 g x x a x 1 1 求实数a 的值 2 求函数g x 的最小值 2016 年广西高考数学一模试卷 理科 参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 若集合A x x 1 3 x 0 集合 B x 1 x 0 则 A B 等于 A 1 3 B 1 C 1 3 D 1 1 考点 交集及其运算 专题 计算题 集合思想 综合法 分析 求出集合的等价条件 利用集合的基本运算进行求解即可 解答 解 A x x 1 3 x 0 x 1 x 3 B x 1 x 0 x x 1 则 A B x 1 x 1 1 1 故选 D 点评 本题主要考查集合的基本运算 根据条件求出集合的等价条件是解决本题的关键 2 在复平面内 复数 2i 2 对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 考点 复数的代数表示法及其几何意义 专题 数形结合 转化思想 数系的扩充和复数 分析 利用复数的运算法则 几何意义即可得出 解答 解 在复平面内 复数 2i 2 2 1 i 2 1 i 的点 1 1 位于第二象限 故选 B 点评 本题考查了复数的运算法则 几何意义 考查了推理能力与计算能力 属于基础题 3 已知双曲线 1 b 0 的离心率等于b 则该双曲线的焦距为 A 2 B 2 C 6 D 8 考点 双曲线的简单性质 专题 数形结合 定义法 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 设双曲线 1 b 0 的焦距为2c 根据双曲线的几何性质求出c 的值即可 得焦距 解答 解 设双曲线 1 b 0 的焦距为2c 由已知得 a 2 又离心率e b 且 c 2 4 b2 解得 c 4 所以该双曲线的焦距为2c 8 故选 D 点评 本题考查了双曲线的定义与简单几何性质的应用问题 是基础题目 4 已知 3sin2 2cos 则cos 等于 A B C D 考点 二倍角的正弦 专题 三角函数的求值 分析 由条件求得sin 和 cos 的值 再根据cos cos 求得结果 解答 解 3sin2 2cos sin cos cos cos 故选 C 点评 本题主要考查二倍角公式 诱导公式的应用 属于中档题 5 已知一个算法的程序框图如图所示 当输出的结果为0 时 输入的x 的值为 A 2 B 2 或 1 C 1 或 3 D 2 或 考点 程序框图 专题 探究型 分类讨论 数学模型法 算法和程序框图 分析 分析程序中各变量 各语句的作用 再根据流程图所示的顺序 可知 该程序的作 用是计算并输出分段函数y 的函数值 解答 解 分析程序中各变量 各语句的作用 再根据流程图所示的顺序 可知 该程序的作用是计算并输出分段函数y 的函数值 当 x 0 时 由 y x 4 0 可得 x 2 当 x 0 时 由 y log 1 0 可得 x 故选 D 点评 算法是新课程中的新增加的内容 也必然是新高考中的一个热点 应高度重视 程 序填空也是重要的考试题型 这种题考试的重点有 分支的条件 循环的条件 变量的赋 值 变量的输出 其中前两点考试的概率更大 此种题型的易忽略点是 不能准确理解流程 图的含义而导致错误 6 已知变量x y 满足约束条件则 z 2x y 的最大值为 A 1 B 2 C 3 D 4 考点 简单线性规划 专题 数形结合 分析 先根据约束条件画出可行域 再利用几何意义求最值 z 2x y 表示直线在y 轴上 的截距 只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可 解答 解 作图 易知可行域为一个三角形 其三个顶点为 0 1 1 0 1 2 验证知在点 1 0 时取得最大值2 当直线 z 2x y 过点 A 1 0 时 z 最大是 2 故选 B 点评 本小题是考查线性规划问题 本题主要考查了简单的线性规划 以及利用几何意义 求最值 属于基础题 7 x 2 2 1 5 的展开式中x 1 的系数为 A 60 B 50 C 40 D 20 考点 二项式定理的应用 专题 转化思想 综合法 二项式定理 分析 把 1 5 按照二项式定理展开 可得 x 2 2 1 5 的展开式中x 1 的系数 解答 解 x 2 2 1 5 x2 2 故展开式中x 1 的系数为2 3 2 2 60 故选 A 点评 本题主要考查二项式定理的应用 二项展开式的通项公式 属于基础题 8 已知函数f x Asin x 的图象如图所示 则该函数的解析式可能是 A f x sin x B f x sin x C f x sin x D f x sin x 考点 由 y Asin x 的部分图象确定其解析式 专题 函数思想 数形结合法 三角函数的图像与性质 分析 函数的图象的顶点坐标求出A的范围 由周期求出 的范围 根据f 2 0 结合所给的选项得出结论 解答 解 由函数f x Asin x 的图象可得0 A 1 T 2 求得 0 1 再根据 f 2 0 结合所给的选项 故选 B 点评 本题主要考查由函数y Asin x 的部分图象求解析式 正弦函数的图象特 征 属于基础题 9 高为 4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体 它的直观图和三视图中的侧视图 俯视图如图所示 则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的 A B C D 考点 由三视图求面积 体积 专题 计算题 数形结合 数形结合法 立体几何 分析 剩余几何体为四棱锥 分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积 解答 解 由俯视图可知三棱柱的底面积为 2 原直三棱柱的体积为2 4 8 由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥 四棱锥的底面为侧视图梯形的面积 6 由俯视图可知四棱锥的高为2 四棱锥的体积为 4 该几何体体积与原三棱柱的体积比为 故选 C 点评 本题考查了几何体的三视图与体积计算 属于中档题 10 若 xlog52 1 则函数f x 4 x 2x 1 3 的最小值为 A 4 B 3 C 1 D 0 考点 函数的最值及其几何意义 专题 转化思想 换元法 函数的性质及应用 分析 由条件求得x log25 令 t 2 x t 即有 y t 2 2t 3 由二次函数的最值 求法 即可得到最小值 解答 解 xlog 52 1 即为 x log25 2 x 令 t 2 x t 即有 y t 2 2t 3 t 1 2 4 当 t 1 即 x 0 时 取得最小值 4 故选 A 点评 本题考查可化为二次函数的最值的求法 注意运用换元法和指数函数的单调性 考 查运算能力 属于中档题 11 过点 P 2 0 的直线与抛物线C y 2 4x 相交于 A B两点 且 PA AB 则点 A 到抛物线C的焦点的距离为 A B C D 2 考点 抛物线的简单性质 专题 综合题 转化思想 综合法 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 利用过点P 2 0 的直线与抛物线C y 2 4x 相交于 A B两点 且 PA AB 求出 A的横坐标 即可求出点A到抛物线C的焦点的距离 解答 解 设 A x1 y1