第3课时函数的表示方法 函数的表示方法 思考 函数的三种表示方法各自有哪些优缺点 提示 素养小测 1 思维辨析 对的打 错的打 1 任何一个函数都可以用图像法表示 2 任何一个函数都可以用解析法表示 3 函数的图像一定是一条连续不断的曲线 提示 1 有的函数是不能画出图像的 如f x 2 并不是所有的函数都可以用解析式表示 3 有些函数的图像不是一条连续不断的曲线 如f x 的图像就不是连续的曲线 2 由下表给出函数y f x 则f f 1 等于 A 1B 2C 4D 5 解析 选B 由题表可知f 1 4 所以f f 1 f 4 2 3 函数f x 的图像如图所示 则f x 的定义域为 值域为 解析 由f x 的图像可知 5 x 5 2 y 3 答案 5 5 2 3 类型一列表法表示函数 典例 1 观察下表 则f g 2 f 1 A 2B 3C 4D 5 2 已知函数f x g x 分别由下表给出 则f g 1 的值为 当g f x 2时 x 思维 引 1 先求出g 2 再求f 1 后计算 2 观察表格明确自变量和函数值的对应关系 解析 1 选A g 2 2 f 2 1 f 1 1 所以f g 2 f 1 f 2 f 1 1 1 2 2 f g 1 f 3 1 因为g f x 2 所以f x 2 所以x 1 答案 11 内化 悟 对于列表法表示的函数 求函数值时应注意什么 提示 应注意认真审题 准确确定x与y的对应关系 类题 通 列表法表示的函数的求值问题的解法解决此类问题关键在于弄清表格中每一个自变量x与y的对应关系 对于f g x 这类函数值的求解 应从内到外逐层求解 而求自变量x时 则由外向内逐层求解 习练 破 1 给出函数f x g x 如表 则f g x 的值域为 A 1 3 B 1 2 3 4 C 4 2 D 1 2 3 解析 选C 因为f g 1 f g 2 f 1 4 f g 3 f g 4 f 3 2 所以f g x 值域为 4 2 2 已知两个函数f x 和g x 的定义域和值域都是集合 1 2 3 其函数对应关系如表 则方程g f x x的解集为 解析 由于g f 1 g 2 2 g f 2 g 3 1 g f 3 g 1 3 所以g f x x的解集为 3 答案 3 类型二函数图像及应用 典例 1 某同学骑车上学 离开家不久 发现作业本忘家里了 于是返回家找到作业本再去上学 为了赶时间他快速行驶 如图中横轴表示出发后的时间 纵轴表示离学校的距离 则较符合该同学走法的图像是 2 作出下列函数的图像 并指出其值域 世纪金榜导学号 1 y x 1 x Z 2 y 2x2 4x 3 0 x 3 3 y 2 x 1 且x 0 思维 引 1 将该同学上学的过程分为四个时间段 逐段分析离学校的距离与出发后的时间的关系 2 首先明确函数的定义域 其次明确函数图像的形状 最后描点作图 解析 1 选D 坐标系中 横轴表示出发后的时间 纵轴表示离学校的距离 据此 将该同学上学的过程分为四个时间段 第一时间段 该同学从家出发往学校行驶 随时间的增长 他到学校的距离越来越小 图像呈现减函数的趋势 第二时间段 该同学在中途返回家里 随时间的增长 他到学校的距离越来越大 图像呈现增函数的趋势 第三时间段 该同学停在家里找作业本 此时他到学校的距离不变 是一个常数 图像呈现水平的线段 第四时间段 该同学从家出发 急速往学校行驶 随时间的增长 他到学校的距离越来越小 而且由于他行驶的速度很快 故图像呈现 直线下降 的锐减趋势 由以上分析 可知符合题意的图像是D 2 1 定义域为Z 所以图像为离散的点 图像如图 1 所示 由图可知y x 1 x Z的值域为Z 2 y 2x2 4x 3 2 x 1 2 5 0 x 3 定义域不是R 因此图像不是完整的抛物线 而是抛物线的一部分 图像如图 2 所示 由图可知y 2x2 4x 3 0 x 3 的值域为 5 3 3 用描点法可以作出函数的图像如图 3 所示 由图可知y 2 x 1 且x 0 的值域为 1 2 内化 悟 画一次函数 二次函数和反比例函数的图像时 应注意什么 提示 1 明确函数图像的形状 即一次函数的图像是直线 二次函数的图像是抛物线 反比例函数的图像是双曲线 2 作函数图像时应特别注意 顶点 端点 图像与x轴的交点等这些特殊点 3 作图时应首先看清函数的定义域 类题 通 描点法作函数图像的步骤列表 先找出一些 有代表性的 自变量x 并计算出与这些自变量相对应的函数值f x 用表格的形式表示出来 描点 从表中得到一系列的点 x f x 在坐标平面上描出这些点 连线 用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来 习练 破 1 列车从A地出发直达500km外的B地 途中要经过距离A地200km的C地 假设列车匀速前进5h后从A地到达B地 则列车与C地之间的距离s关于时间t的函数图像为 解析 选A 当t 0时 s 200 列车的运行速度为 100 km h 所以列车到达C地的时间为 2 h 故当t 2时 s 0 2 如图 函数f x 的图像是曲线OAB 其中点O A B的坐标分别为 0 0 1 2 3 1 则f f 3 的值等于 解析 由图可知f 3 1 所以f f 3 f 1 2 答案 2 加练 固 1 龟兔赛跑 讲述了这样的一个故事 领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟 骄傲起来 睡了一觉 当它醒来时 发现乌龟快到终点了 于是急忙追赶 但为时已晚 乌龟还是先到达了终点 如果用S1 S2分别 表示乌龟和兔子所行的路程 t为时间 则下列图形与故事情节相吻合的是 解题指南 乌龟和兔子所跑的路程相同 乌龟所用的时间短 据此可选出答案 解析 选B 因为兔子先快 后停 又快 故排除C 又兔子比乌龟晚到达终点 因此排除A D 故选B 2 作出下列函数的图像 1 y x 2 x 2 x Z且x 0 2 y 2x2 4x 1 0 x 3 解析 1 由于函数定义域为大于等于 2 小于等于2且不等于0的整数组成的集合 所以函数图像为图中直线y x上孤立的点 2 由题意可知 函数的定义域为 0 3 因而这个函数的图像是二次函数y 2x2 4x 1在 0 3 上的部分 类型三求函数的解析式角度1待定系数法求函数解析式 典例 1 已知f x 是一次函数 且满足2f x 3 f x 2 2x 21 求f x 的解析式 2 已知f x 为二次函数 且满足f 0 1 f x 1 f x 4x 求f x 的解析式 世纪金榜导学号 思维 引 1 设f x ax b a 0 根据题意列方程组求a b 2 设f x ax2 bx c a 0 根据题意列方程组求a b c 解析 1 设f x ax b a 0 则2f x 3 f x 2 2 a x 3 b a x 2 b 2ax 6a 2b ax 2a b ax 8a b 2x 21 所以a 2 b 5 所以f x 2x 5 2 因为f x 为二次函数 设f x ax2 bx c a 0 由f 0 1 得c 1 又因为f x 1 f x 4x 所以a x 1 2 b x 1 c ax2 bx c 4x 整理 得 2ax a b 4x 求得a 2 b 2 所以f x 2x2 2x 1 素养 探 用待定系数法求函数解析式时 经常利用核心素养中的数学运算 首先设出所求函数的一般形式 然后根据题目条件建立等量关系 最后通过解方程组求出待定系数 从而确定函数解析式 本例 2 条件 f 0 1 f x 1 f x 4x 改为 f 1 x f 1 x f 2 1 f 1 3 如何求f x 解析 由f 1 x f 1 x 且f 1 3 可设f x a x 1 2 3 a 0 又f 2 a 2 1 2 3 1 故a 2 所以f x 2x2 4x 1 角度2换元法 或配凑法 求函数解析式 典例 已知f 1 x 2 求f x 世纪金榜导学号 思维 引 令t 1 将解析式中的x用t替代 即可求出函数的解析式 解析 方法一 令t 1 则t 1 x t 1 2 代入原式有f t t 1 2 2 t 1 t2 4t 3 f x x2 4x 3 x 1 方法二 f 1 x 2 1 4 4 3 1 2 4 1 3 因为 1 1 所以f x x2 4x 3 x 1 角度3方程组法求函数解析式 典例 已知函数y f x 满足f x 2 3x 则f x 的解析式为 世纪金榜导学号 思维 引 分析已知等式的特点 用代换上式中的x 构建关于f x 和的方程组 解方程组求出f x 解析 由题意知函数y f x 满足f x 2 3x 即f x 2 3x 用代换上式中的x 可得 2f x 联立得 解得f x x x 0 答案 f x x x 0 类题 通 函数解析式的求法 1 待定系数法 若已知函数的类型 如一次函数 二次函数 反比例函数等 可用待定系数法 2 换元法 已知函数f g x 的解析式 可用换元法 此时要注意新元的取值范围 3 解方程组法 已知f x 与 f x 之间的关系式 可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组 通过解方程组求出f x 习练 破 1 已知f x 是一个正比例函数和一个反比例函数的和 且f 2 3 f 1 3 则f x 解析 设f x k1x 则解得所以f x x 答案 x 2 1 已知函数y f x 满足 x 1 求f x 的解析式 2 已知f x 是一次函数 且2f x 1 f x 1 6x 求f x 的解析式 解析 1 设t 2 则x 所以f t 1 所以f x x 2 2 因为f x 是一次函数 所以设f x kx b k 0 由2f x 1 f x 1 6x 得2 k x 1 b k x 1 b 6x 即3kx k 3b 6x 所以所以k 2 b 即f x 2x 加练 固 1 设函数则f x 的表达式为 A f x B f x C f x D f x 解析 选C 令t 解得代入可得所以f x 2 已知二次函数f x 的图像经过点 3 2 顶点是 2 3 则函数f x 的解析式为 解析 设所求解析式为f x a x 2 2 3 a 0 因为抛物线过点 3 2 所以2 a 3 所以a 1 所以f x x 2 2 3 x2 4x 1 答案 f x x2 4x 1