第17讲函数与方程 1 函数的零点 1 函数零点的定义 对于函数y f x 把使f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 2 三个等价关系 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 2 函数零点的判定如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是f x 0的根 我们把这一结论称为函数零点存在性定理 3 明确三个等价关系 三者相互转化 4 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 题型一函数零点所在区间的判断 例1 1 函数f x lnx 的零点所在的大致区间是 A 1 2 B 2 3 C 1 e 和 3 4 D e 2 设f x 0 8x 1 g x lnx 则函数h x f x g x 存在的零点一定位于下列哪个区间 A 0 1 B 1 2 C 2 e D e 3 2 h x f x g x 的零点等价于方程f x g x 0的根 即为函数y f x 与y g x 图象的交点的横坐标 其大致图象如图 从图象可知它们仅有一个交点A 横坐标的范围为 0 1 故选A 答案 1 B 2 A 规律总结 判断函数零点所在区间的三种方法 1 解方程法 当对应方程f x 0易解时 可先解方程 然后再看求得的根是否落在给定区间上 2 定理法 利用函数零点的存在性定理 首先看函数y f x 在区间 a b 上的图象是否连续 再看是否有f a f b 0 若有 则函数y f x 在区间 a b 内必有零点 3 图象法 通过画函数图象 观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 变式训练一 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 C 所以x0 2 3 故选C 题型二函数零点个数的问题 A 3B 2C 1D 0 一个实根 则实数a的取值范围是 因此函数f x 共有2个零点 法二 函数f x 的图象如图所示 由图象知函数f x 共有2个零点 2 问题等价于函数y f x 与y x a的图象有且只有一个交点 作出函数f x 的图象 如图所示 结合函数图象可知a 1 答案 1 B 2 1 规律方法 判断函数零点个数的三种方法 1 方程法 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理法 利用定理不仅要求函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 周期性 对称性 才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质 3 数形结合法 转化为两个函数的图象的交点个数问题 先画出两个函数的图象 看其交点的个数 其中交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 变式训练二1 函数f x x 2 lnx在定义域内的零点的个数为 A 0B 1C 2D 3 C 解析 由题意可知f x 的定义域为 0 在同一直角坐标系中画出函数y1 x 2 x 0 y2 lnx x 0 的图象 如图所示 由图可知函数f x 在定义域内的零点个数为2 A 4B 3C 2D 1 A 解析 由f f x 1 0得f f x 1 综上可得函数y f f x 1的零点的个数是4 故选A 题型三函数零点的应用 高频考点 函数零点的应用是每年高考的重点 多以选择题或填空题的形式考查 难度中档及以上 主要命题角度有 已知函数在某区间上有零点求参数 已知函数零点或方程根的个数求参数 考法一根据零点的范围求参数 例3 1 若函数f x log2x x k k Z 在区间 2 3 上有零点 则k 解析 函数f x log2x x k在 2 3 上单调递增 所以f 2 f 3 0 即 log22 2 k log23 3 k 0 整理得 3 k log23 3 k 0 解得3 k 3 log23 而4 3 log23 5 因为k Z 故k 4 答案 4 考法二已知函数零点或方程根的个数求参数 数b 使得关于x的方程f x b有三个不同的根 则m的取值范围是 解析 作出f x 的图象如图所示 当x m时 x2 2mx 4m x m 2 4m m2 要使方程f x b有三个不同的根 则有4m m20 又m 0 解得m 3 答案 3 规律方法 已知函数的零点或方程根的个数 求参数问题的三种方法 1 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式 再通过解不等式确定参数的范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数的值域问题加以解决 3 数形结合法 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象 然后数形结合求解 变式训练三 围是 0 1 解析 函数g x f x m有3个零点 转化为f x m 0的根有3个 进而转化为y f x y m的交点有3个 画出函数y f x 的图象 则直线y m与其有3个公共点 又抛物线顶点为 1 1 由图可知实数m的取值范围是 0 1 2 设函数f x ex 2x 4 g x lnx 2x2 5 若实数a b分别是f x g x 的零点 则 A g a 0 f b B f b 0 g a C 0 g a f b D f b g a 0 A 解析 依题意 f 0 30 且函数f x 是增函数 因此函数f x 的零点在区间 0 1 内 即00 函数g x 的零点在区间 1 2 内 即1f 1 0 又函数g x 在 0 1 内是增函数 因此有g a g 1 0 所以g a 0 f b A 0 1 B 2 3 C 3 4 D 4 A 1B 2C 3D 4 C 故f x 的零点所在的区间是 3 4 C 个数为3 所以函数f x 在 0 2 上的零点个数为3 故选C 3 已知实数a 1 0 b 1 则函数f x ax x b的零点所在的区间是 A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 4 函数f x 2x a的一个零点在区间 1 2 内 则实数a的取值范围是 A 1 3 B 1 2 C 0 3 D 0 2 B 解析 因为a 1 00 则由零点存在性定理可知f x 在区间 1 0 上存在零点 区间 1 2 内 则有f 1 f 2 0 所以 a 4 1 a 0 即a a 3 0 所以0 a 3 C A 1 B 0 C 1 0 D 1 0 D 解析 当x 0时 f x 3x 1有一个零点x 所以只需要当x 0时 ex a 0有一个根即可 即ex a 当x 0时 ex 0 1 所以 a 0 1 即a 1 0 为 3 解 得x 2 解 得x 1或x 2 因此 函数g x f x x的零点个数为3 7 方程2x 3x k的解在 1 2 内 则k的取值范围为 5 10 解析 令函数f x 2x 3x k 则f x 在R上是增函数 当方程2x 3x k的解在 1 2 内时 f 1 f 2 0 即 5 k 10 k 0 解得5 k 10 当f 1 0时 k 5 8 已知关于x的方程x2 mx 6 0的一个根比2大 另一个根比2小 则实数m的取值范围是 1 解析 设函数f x x2 mx 6 则根据条件有f 2 0 即4 2m 6 0 解得m 1 即f x0 x0 10 已知a是正实数 函数f x 2ax2 2x 3 a 如果函数y f x 在区间 1 1 上有零点 求a的取值范围 解得a 1 所以a的取值范围是 1 1 方程 x2 2x a2 1 a 0 的解的个数是 A 1B 2C 3D 4 B 解析 数形结合法 因为a 0 所以a2 1 1 而y x2 2x 的图象如图所示 所以y x2 2x 的图象与y a2 1的图象总有两个交点 2 已知a是函数f x 2x x的零点 若00C f x0 0D f x0 的符号不确定 C 有零点之和为 1 求g f 1 的值 2 若方程g f x a 0有4个实数根 求实数a的取值范围 解 1 利用解析式直接求解得g f 1 g 3 3 1 2 2 令f x t 则原方程化为g t a 易知方程f x t在t 1 内有2个不同的解 则原方程有4个解等价于函数y g t t 1 与y a的图象有2个不同的交点 作出函数y g t t 1 的图象 图略