第3讲算术平均数与几何平均数 1 基本不等式成立的条件 a 0 b 0 2 等号成立的条件 当且仅当a b时取等号 式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 2 几个常用的重要不等式 1 a R a2 0 a 0 当且仅当a 0时取 2 a b R 则a2 b2 2ab 3 最值定理 即积定和最小 和定积最大 1 若a b R 且ab 0 则下列不等式恒成立的是 D A 有最大值 B 有最小值 C 是增函数 D 是减函数 B 2 ymin 2 4 已知x 0 y 0 且x 4y 1 则xy的最大值为 116 考点1 利用基本不等式求最值 或取值范围 例1 1 若2x 2y 1 则x y的取值范围是 A 0 2 B 2 0 C 2 D 2 答案 D 答案 4 答案 A 考点2利用基本不等式求参数的取值范围 上恒成立 则a的最小值为 A 4 B 2 C 16 D 1 答案 A 互动探究 则a 36 考点3 利用逆代法求最值 答案 8 答案 16 规律方法 1 本题需要将 1 灵活代入所求的代数式中 这种方法叫做逆代法 2 利用基本不等式及变式求函数的最值时 要注意到合理拆分项或配凑因式 而拆与凑的过程中 一要考虑定理使用的条件 两数都为正 二要考虑必须使和或积为定值 三要考虑等号成立的条件 当且仅当a b时取 号 即 一正 二定 三相等 例题 1 若实数x y满足x2 y2 xy 1 则x y的最大值是 难点突破 利用整体思想求最值 值是 A 3 B 4 C 92 D 112 2 已知x 0 y 0 x 2y 2xy 8 则x 2y的最小 整理 得 x 2y 2 4 x 2y 32 0 x 2y 4 x 2y 8 0 又x 2y 0 x 2y 4 答案 B 规律方法 本题主要考查了基本不等式在求最值时的运用 整体思想是分析这类题目的突破口 即x y与x 2y分别是统一的整体 如何构造出只含x y 构造xy亦可 与x 2y 构造x 2y亦可 形式的不等式是解本题的关键 互动探究 2 设x y为实数 若4x2 y2 xy 1 则2x y的最大值是