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乌鲁木齐市第四中学20182019学年度下学期期末考试高一数学试题一、单选题1.已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合,再利用并集的定义求解即可.【详解】,故选A.【点睛】研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性.研究两集合的关系时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2.函数,则( )A. -1B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】先计算出,再计算得值,由此得出正确选项.【详解】依题意得,故选:A【点睛】本小题主要考查分段函数求值,考查对数运算,考查运算求解能力,属于基础题.3.将函数的图象向右平移个单位长度得到图象,则函数的解析式是()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则,即可得出结论【详解】由题意,将函数的图象向右平移个单位长度,可得的图象.故选:C【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换,熟记图像变换原则即可,属于常考题型.4.已知向量,满足,则()A. 4B. 3C. 2D. 0【答案】B【解析】【分析】对所求式子利用向量数量积的运算公式,去括号,然后代入已知条件求得结果.【详解】解:向量满足, ,则,故选:B【点睛】本小题主要考查向量数量积运算,考查运算求解能力,属于基础题.5.若均为第二象限角,满足,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cos和sin的值,两角和的三角公式求得cos(+)的值【详解】解:sin,cos,、均为第二象限角,cos,sin,cos(+)coscos-sinsin(),故答案为B【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的余弦公式,属于基础题6.中,则的值是( )A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理求解.【详解】由正弦定理得,选B.【点睛】本题考查正弦定理,考查基本分析求解能力,属基础题.7.已知等差数列的公差不为零,为其前项和,且, 构成等比数列,则()A. 15B. -15C. 30D. 25【答案】D【解析】【分析】设等差数列的公差为,由已知列关于首项与公差的方程组,求解得到首项与公差,再由等差数列的前项和公式求解【详解】解:设等差数列的公差为,由题意,解得 故选:D【点睛】本题考查等差数列的通项公式与前项和,考查等比数列的性质,是基础题8.下列命题中为真命题的是( )若,则; 若,则;若,则; 若,则.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据线面垂直的性质,可判断的真假,再结合线面位置关系,可判断出的真假.【详解】由线面垂直的性质,易知正确;当且时,有或,不正确;当时,有与相交或或,不正确.故选A【点睛】本题主要考查线面垂直的性质,熟记性质定理以及线面位置关系即可,属于常考题型.9.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成,利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.【详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成,该多面体体积为.故选D.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图,考查柱体和锥体的体积公式,属于基础题.10.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为A. 2B. 3C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】画出可行域,用截距模型求最值。【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。目标函数的几何意义是直线在轴上的截距,故目标函数在点处取得最大值。由,得,所以。故选C。【点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域,分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值或范围即:一画,二移,三求11.如图所示,在长方体中,则与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】如图,作出在平面上的射影,求出和,然后直接求正弦值即可【详解】如图所示,在平面内过点作的垂线,垂足为,连接.平面,的正弦值即为所求.,.【点睛】本题考查线面角的计算问题,属于基础题,解题核心在于找到平面外直线在平面的射影12.已知,则( )A. 2B. -2C. 3D. -3【答案】A【解析】【分析】根据同角三角函数的关系,先化为正弦余弦,再转化为正切,代入求值即可.【详解】因为,故选A.【点睛】本题主要考查了同角三角函数之间的关系,属于中档题.二、填空题13.如图所示,已知平面平面,垂足为,垂足为,直线,,则直线与直线的位置关系是_.【答案】平行【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理,分别证明平面,平面;再由线面垂直的性质,即可得出.【详解】平面平面,又,.同理.又,平面.,.又,平面,.故答案为:平行【点睛】本题主要考查线面垂直,熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可,属于常考题型.14.角的终边经过点,则_.【答案】【解析】【分析】根据三角函数的定义可求出,利用诱导公式可知,即可求解.【详解】因为角的终边经过点,所以, ,故填.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义,诱导公式,属于中档题.15.已知的三个顶点分别是,则边上的高所在直线的斜截式方程为_.【答案】【解析】【分析】本题首先可以通过以及、求出,然后通过直线的点斜式方程以及即可得出直线方程,并化简为斜截式方程。【详解】设边上高为,因为,所以,解得,所以边上高所在直线的点斜式方程是,整理可得斜截式方程.故答案为。【点睛】本题考查了直线的相关性质,主要考查直线垂直的相关性质,考查直线的点斜式方程以及斜截式方程,若两直线垂直且都不与轴平行,则有,是中档题。16.的内角的对边分别为.已知,则=_.【答案】【解析】【分析】先根据正弦定理化边为角,再根据同角三角函数的基本关系得结果.【详解】由正弦定理可得:,化简得,.【点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余鉉定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.三、解答题17.已知等差数列中,(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先设等差数列的公差为,根据题中条件求出公差,即可得出通项公式;(2)根据前项和公式,即可求出结果.【详解】(1)依题意,设等差数列的公差为,因为,所以,又,所以公差,所以(2)由(1)知,所以【点睛】本题主要考查等差数列,熟记等差数列的通项公式与前项和公式即可,属于基础题型.18.如图,在四边形中,已知,(1)求的值;(2)若,且,求的长【答案】()()【解析】分析】()在中,由正弦定理可得答案;()由结合()可得,在中,由余弦定理得BC值.【详解】()在中,由正弦定理,得因为, 所以 ()由()可知,因为,所以在中,由余弦定理,得因为所以,即,解得或又,则【点睛】本题主要考查正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,考查计算能力,属于基础题.19.已知数列的前项和为且.(1)求数列的通项公式(2)求数列的前项和。【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先由得到,两式作差,得到该数列为等比数列,根据题意,即可求出通项公式;(2)由错位相减法求数列的和,即可得出结果.【详解】(1)因为,当时,两式相减可得,即整理可得,解得,所以数列为首项为,公比为的等比数列;(2)由题意可得:,所以两式相减可得,.【点睛】本题主要考查等比数列,以及数列的求和,熟记等比数列的通项公式,以及错位相减法求数列的和即可,属于常考题型.20.已知三棱锥中, .若平面分别与棱相交于点且平面.求证:(1);(2).【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)利用线面平行的性质定理可得线线平行,最后利用平行公理可以证明出;(2)利用线面垂直的判定定理可以证明线面垂直,利用线面垂直的性质可以证明线线垂直,利用平行线的性质,最后证明出.【详解】证明(1)因为平面,平面平面,平面,所以有,同理可证出,根据平行公理,可得;(2)因为,,平面,所以平面,而平面,所以,由(1)可知,所以.【点睛】本题考查了线面平行的性质定理,线面垂直的判定定理、以及平行公理的应用.21.如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO底面ABCD,底面边长为a,E是PC的中点(1)求证:PA/ 平面BDE; (2)求证:平面PAC平面BDE【答案】证明:()连结EO,在PAC中,O是AC的中点,E是PC的中点,OEAP又OE平面BDE,PA平面BDE,PA平面BDE()PO底面ABCD,POBD又ACBD,且ACPOO,BD平面PAC而BD平面BDE,平面PAC平面BDE。【解析】【分析】(1) 连结OE,证明OEPA,即证PA平面BDE.(2)先证明BD平面PAC,再证明平面PAC平面BDE【详解】(1)证明:连结OE,如图所示O,E分别为AC,PC的中点,OEPA.OE平面BDE,PA平面BDE,PA平面BDE.(2)证明:PO平面ABCD,POBD.在正方形ABCD中,BDAC.又POACO,BD平面PAC.又BD平面BDE,平面PAC平面BDE.【点睛】本题主要考查空间几何元素的位置关系的证明,意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和空间想象转化能力.22.如图,在直角梯形中,点在上,且,将沿折起,使得平面平面(如图).为中点. (1)求证:平面;(2)求四棱锥的体积;(3)在线段上是否存在点,使得平面?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)见证明;(2) (3) 【解析】【分析】(1)证明,再根据面面垂直的性质得出平面;(2)分别计算和梯形的面积,即
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