基础过关1.如图X13-1所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC和AA1C均是边长为2的等边三角形,点O为AC的中点,平面AA1C1C平面ABC.(1)证明:A1O平面ABC;(2)求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值.图X13-12.在如图X13-2所示的几何体中,DEAC,AC平面BCD,AC=2DE=4,BC=2,DC=1,BCD=60.(1)证明:BD平面ACDE;(2)求平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值.图X13-23.如图X13-3所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AA1平面ABCD,M为棱DD1的中点,N为棱AD的中点,Q为棱BB1的中点.(1)证明:平面MNQ平面C1BD;(2)若AA1=2AB,棱A1B1上有一点P,且=(0,1),使得二面角P-MN-Q的余弦值为132163,求的值.图X13-34.如图X13-4所示,四边形ABCD是一个直角梯形,ABC=BAD=90,E为BC上一点,AE,BD相交于点O,AD=EC=3,BE=1,AB=3.将ABE沿AE折起,使平面ABE平面ADCE,得到如图X13-4所示的四棱锥B-AECD.(1)求证:CD平面BOD;(2)求直线AB与平面BCD所成角的正弦值.图X13-45.如图X13-5所示,四边形ABCD是边长为a的菱形,BAD=60,EB平面ABCD,FD平面ABCD,EB=2FD=3a.(1)求证:EFAC;(2)求直线CE与平面ABF所成角的正弦值.图X13-56.如图X13-6所示,在等腰直角三角形SAB中,SA=AB=4,SAAB,C,D分别为SB,SA的中点,将SCD沿CD翻折到SCD的位置,使平面SDC平面ABCD, 如图X13-6,SA=22,E为线段SB的中点.(1)求证:CE平面SAD;(2)求二面角A-EC-B的余弦值.图X13-6能力提升7.如图X13-7所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AB=AC=2,AD=22,PB=32,PBAC.(1)求证:平面PAB平面PAC.(2) 若PBA=45,试判断棱PA上是否存在与点P,A不重合的点E,使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为33?若存在,求出AEAP的值;若不存在,请说明理由.图X13-78.如图X13-8所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,ADBC,AB=BC=PA=1,AD=2,PAD=DAB=ABC=90,点E在棱PC上,且CE=CP(01).(1)求证:CDAE.(2)是否存在实数,使得二面角C-AE-D的余弦值为105?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.图X13-8限时集训(十三) 基础过关1.解:(1)证明:AA1=A1C,且O为AC的中点,A1OAC,又平面AA1C1C平面ABC,平面AA1C1C平面ABC=AC,且A1O平面AA1C1C,A1O平面ABC.(2)如图,连接OB,以O为原点,OB,OC,OA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(0,-1,0),B(3,0,0),A1(0,0,3),C1(0,2,3),=(3,1,0),=(3,0,-3),=(0,2,0).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则即2y=0,3x-3z=0,令x=1,则y=0,z=1,n=(1,0,1).设直线AB与平面A1BC1所成的角为,则sin=|cos|=32脳2=64,故直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值为64.2.解:(1)证明:在BCD中,由余弦定理得BD2=22+12-212cos60=3,所以BC2=BD2+DC2,所以BDCD.又AC平面BCD,所以ACBD.因为ACCD=C,所以BD平面ACDE.(2)易知DB,DC,DE两两垂直,所以以D为原点,DB,DC,DE所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,可得D(0,0,0),B(3,0,0),C(0,1,0),E(0,0,2),A(0,1,4),则=(-3,1,4),=(0,1,2).设n=(x,y,z)是平面BAE的法向量,则令z=3,得n=(2,-23,3).易知平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1).设平面BCD与平面BAE所成二面角的平面角为,则|cos|=319,从而sin=41919.3.解:(1)证明:M,Q分别为棱DD1,BB1的中点,MDBQ,四边形MQBD为平行四边形,MQBD,又BD平面C1BD,MQ平面C1BD.连接AD1,N为棱AD的中点,M为棱DD1的中点,MNAD1,又AD1BC1,MNBC1.BC1平面C1BD,MN平面C1BD.又MNMQ=M,平面MQN平面C1BD.(2)由题意知DA,DC,DD1两两垂直,以D为原点,所在的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=1,则A(1,0,0),N12,0,0,M(0,0,1),Q(1,1,1),A1(1,0,2),B1(1,1,2),=(0,1,0),=12,0,-1,=(1,1,0).设P(x,y,z),则由=,得x-1=0,y=位,z-2=0,P(1,2),=(1,1).设平面PMN的法向量为m=(a1,b1,c1),则即令c1=1,则a1=2,b1=,m=2,-3位,1.设平面MNQ的法向量为n=(a2,b2,c2),则即12a2-c2=0,a2+b2=0,令c2=1,则a2=2,b2=-2,n=(2,-2,1),由题知=132163=,即642-252+153=0,解得=34或5116(与01矛盾,舍去),故=34.4.解:(1)证明:在RtAEB中,因为BE=1,AB=3,所以BAE=30,同理BDA=30,所以AOD=90,即AEBD.因为ADEC,AD=EC,所以四边形ADCE是平行四边形,所以CDO=AOD=90,所以CDDO.因为平面ABE平面ADCE,平面ABE平面ADCE=AE,BOAE,BO平面ABE,所以BO平面ADCE,又CD平面ADCE,所以BOCD.因为BODO=O,BO平面BOD,DO平面BOD,所以CD平面BOD.(2)由(1)可知,直线OA,OB,OD两两垂直,以O为原点,OA,OD,OB所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示,则A32,0,0,B0,0,32,C-2,332,0,D0,332,0,所以=-32,0,32,=0,332,-32,=(2,0,0).设平面BCD的法向量为n=(a,b,c),则令b=1,则a=0,c=3,所以n=(0,1,3).设直线AB与平面BCD所成的角为,则sin=|cos|=31020,所以直线AB与平面BCD所成角的正弦值为31020.5.解:(1)证明:连接BD.因为四边形ABCD是菱形,所以ACBD.因为FD平面ABCD,AC平面ABCD,所以ACFD.又BDFD=D,所以AC平面BDF.因为EB平面ABCD,FD平面ABCD,所以EBFD,所以B,D,F,E四点共面,又EF平面BDFE,所以EFAC.(2)如图,取AB的中点Q,连接DQ.因为四边形ABCD是菱形,BAD=60,所以ABD是正三角形.又Q为AB的中点,所以DQAB,所以DQDC,则DQ,DC,DF两两垂直,以D为坐标原点,分别以,所在的方向为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系D-xyz.易得A32a,-12a,0,B32a,12a,0,F0,0,32a,C(0,a,0),E32a,12a,3a,所以=(0,a,0),=-32a,12a,32a.设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),则即ay=0,-32ax+12ay+32az=0,令x=1,则y=0,z=1,所以n=(1,0,1).又=32a,-12a,3a,所以|cos|=368,所以直线CE与平面ABF所成角的正弦值为368.6.解:(1)证明:取SA的中点F,连接DF,EF,SE=EB,SF=FA,EF12AB,又CD12AB,CDEF,四边形CDFE为平行四边形,CEFD.CE平面SAD,FD平面SAD,CE平面SAD.(2)平面SCD平面ABCD,平面SCD平面ABCD=CD,SDCD,SD平面SCD,SD平面ABCD,又AD,CD平面ABCD,SDAD,SDCD.又ADDC,DA,DC,DS两两垂直.如图所示,以D为原点,DA,DC,DS所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz,由题易知DA=DC=DS=2,则A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,4,0),E(1,2,1),=(1,0,1),=(2,-2,0),=(2,2,0).设平面ECA,平面ECB的法向量分别为m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2),则即x1+z1=0,2x1-2y1=0,令x1=1,则y1=1,z1=-1,m=(1,1,-1),即x2+z2=0,2x2+2y2=0,令x2=1,则y2=-1,z2=-1,n=(1,-1,-1),cos=13.由图易知,二面角A-EC-B的平面角为钝角,二面角A-EC-B的余弦值为-13. 能力提升7.解:(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,AD=22,所以BC=AD=22,又AB=AC=2,所以AB2+AC2=BC2,所以ACAB.因为PBAC,ABPB=B,所以AC平面PAB,又AC平面PAC,所以平面PAB平面PAC.(2)由(1)知ACAB,AC平面PAB,如图,以A为原点,AB,AC所在直线分别为x,y轴,平面PAB内过点A且与直线AB垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),所以=(0,2,0),=(-2,2,0),由PBA=45,PB=32,BA=2,可得P(-1,0,3),所以=(-1,0,3),=(-3,0,3).假设棱PA上存在点E,使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为33,设此时AEAP=(01),则=(-,0,3),=-=(-,-2,3).设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则即-2x+2y=0,-3x+3z=0,令z=1,则x=1,y=1,所以n=(1,1,1).设直线CE与平面PBC所成的角为,则sin=|cos|=33,整理得32+4=0,因为01,所以32+4=0无解,所以棱PA上不存在与