全等三角形中几种常见的辅助线添法 知识回顾 一般三角形的全等条件 定义 重合 法 1 SSS 2 SAS 3 ASA 4 AAS 方法指引 证明两个三角形全等的基本思路 1 已知两边 找第三边 SSS 找夹角 SAS 2 已知一边一角 已知一边和它的邻角 已知一边和它的对角 找这边的另一个邻角 ASA 找这个角的另一个边 SAS 找这边的对角 AAS 找一角 AAS 3 已知两角 找两角的夹边 ASA 找夹边外的任意边 AAS 1 连结 目的 构造全等三角形或等腰三角形 适用情况 图中已经存在两个点 A和B 语言描述 连结AB 注意点 双添 在图形上添虚线在证明过程中描述添法 1 如图 AB AD BC DC 求证 B D 连接AC 构造全等三角形 连线构造全等 连线构造全等 2 如图 AB与CD交于O 且AB CD AD BC OB 5cm 求OD的长 连接BD 构造全等三角形 A C B D O 拓展题 3 如图 已知 A D AB DE AF CD BC EF 求证 BC EF 目的 构造直角三角形 得到斜边相等 适用情况 图中已经存在一条线段MN和垂直平分线上一个点A 语言描述 连结AM和AN 注意点 双添 在图形上添虚线在证明过程中描述添法 2 倍长中线法 1 已知 如图AD是 ABC的中线 延长AD到点E 使DE AD 连结CE 思考 若AB 3 AC 5求AD的取值范围 倍长中线 证明 延长AD至E 使DE AD 连接BE CE AD为 ABC的中线 已知 BD CD 中线定义 在 ACD和 EBD中BD CD 已证 1 2 对顶角相等 AD ED 辅助线作法 ACD EBD SAS BE CA 全等三角形对应边相等 在 ABE中有 AB BE AE 三角形两边之和大于第三边 AB AC 2AD 常延长中线加倍 构造全等三角形 2 练习 如图1 AD是 ABC的中线 AB 3 AC 5 求中线AD的取值范围 例 如图 AD为 ABC的中线 ADB ADC的平分线交AB AC于E F 求证 BE CF EF分析 本题中已知D为BC的中点 要证BE CF EF间的不等关系 可利用点D将BE旋转 使这三条线段在同一个三角形内 3 截长补短法 1 已知在 ABC中 C 2 B 1 2求证 AB AC CD A D B C 1 2 在AB上取点E使得AE AC 连接DE 截长 F 在AC的延长线上取点F使得CF CD 连接DF 补短 2 如图所示 已知AD BC 1 2 3 4 直线DC经过点E交AD于点D 交BC于点C 求证 AD BC AB E F 在AB上取点F使得AF AD 连接EF 截长补短 目的 构造直角三角形 得到距离相等 适用情况 图中已经存在一个点P和一条线MN 语言描述 过点P作PD MN 注意点 双添 在图形上添虚线在证明过程中描述添法 4 角平分线上点向两边作垂线段 1 如图 ABC中 C 90o BC 10 BD 6 AD平分 BAC 求点D到AB的距离 过点D作DE AB于点E E 角平分线上的点向角两边做垂线段 角平分线上点向两边作垂线段 典例 如图 梯形中 A D 90o BE CE均是角平分线 求证 BC AB CD A C D 过点E作EF BC 构造了 全等的直角三角形且距离相等 B F 思考 你从本题中还能得到哪些结论 E 方法3 旋转法 如图 在正方形ABCD中 E为BC上的一点 F为CD上的一点 EAF 45 求证 BE DF EF A B C D E F E 将 ABE绕点A逆时针方向旋转90 使AB与AD重合 点E落在E 处 B 线段与角求相等 先找全等试试看 图中有角平分线 可向两边作垂线 线段垂直平分线 常向两端把线连 线段计算和与差 巧用截长补短法 三角形里有中线 延长中线 中线 想作图形辅助线 切莫忘记要双添 小结