第章不等式、推理与证明第一节不等式的性质与一元二次不等式考纲传真1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图 (对应学生用书第78页) 基础知识填充1两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2不等式的性质(1)对称性：abbb，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd；(单向性)(5)乘方法则：ab0anbn(n2，nN)；(6)开方法则：ab0(n2，nN)3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式b24ac000)的图像一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1Rax2bxc0)的解集x|x1xbac2bc2.()(2)ab0，cd0.()(3)若不等式ax2bxc0.()(4)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)下列四个结论，正确的是()ab，cbd；ab0，cdbd；ab0；ab0.ABCDD利用不等式的同向可加性可知正确；对于，根据不等式的性质可知acb0可知a2b20，所以b，则下列不等式恒成立的是()Aa2b2 B1 C2a2bDlg(ab)0C取a1，b2，排除A，B，D故选C4(2015广东高考)不等式x23x40的解集为_(用区间表示)(4,1)由x23x40得x23x40，解得4x0的解集为(4,1)5若不等式mx22mx10的解集为R，则m的取值范围是_0,1)当m0时，10显然成立；当m0时，由条件知得0m1，由知0my0，则()A0Bsin xsin y0Cxy0(2)已知函数f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范围(1)C函数yx在(0，)上为减函数，当xy0时，xy，即xyy0y0时，不能比较sin x与sin y的大小，故B错误；xy0xy0/ ln(xy)0/ ln xln y0，故D错误(2)由题意知f(1)ab，f(1)ab，f(2)4a2B设m(ab)n(ab)4a2b，则解得f(2)(ab)3(ab)f(1)3f(1)1f(1)2,2f(1)4，5f(2)10，即f(2)的取值范围为5,10规律方法1.对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形2判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明3由af(x，y)b，cg(x，y)d求F(x，y)的取值范围，要利用待定系数法解决，即设F(x，y)mf(x，y)ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围变式训练1(1)(2018衡阳模拟)若0，则下列结论不正确的是()Aa2b2Babb2Cab|ab|(2)若角，满足，则的取值范围是() 【导学号：00090185】A BCD(1)D(2)B由题可知ba0，所以A，B，C正确，而|a|b|ab|ab|，故D错误，选D(2)，.又，0，从而0.一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)32xx20；(2)x2(a1)xa0.解(1)原不等式化为x22x30，即(x3)(x1)0，故所求不等式的解集为x|1x3.6分(2)原不等式可化为(xa)(x1)1时，原不等式的解集为(1，a)；当a1时，原不等式的解集为；当a1时，原不等式的解集为(a,1).12分母题探究将(2)中不等式改为ax2(a1)x10)，求不等式的解集解原不等式变为(ax1)(x1)0，所以a(x1)1时，解集为x1；当a1时，解集为；当0a1时，解集为1x.10分综上，当0a1时，不等式的解集为.12分规律方法1.解一元二次不等式的步骤：(1)使一端为0且把二次项系数化为正数(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法(3)写出不等式的解集2解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式(2)判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式变式训练2(1)(2018沈阳模拟)已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是() 【导学号：00090186】Ax|2x0的解集是，ax2bx10的解是x1和x2，且a0，解得则不等式x2bxa0即为x25x60，解得x2或x3.(2)原不等式可化为12x2axa20即(4xa)(3xa)0即0当a0时，解集为；当a0时，x20，解集为x|xR且x0；当a0时，解集为.综上所述，当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|xR且x0；当a0时，不等式的解集为.一元二次不等式恒成立问题角度1形如f(x)0(xR)求参数的范围(2018张掖模拟)不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_(2,2当a20，即a2时，不等式即为40，对一切xR恒成立，当a2时，则有即2a2.综上，可得实数a的取值范围是(2,2角度2形如f(x)0求参数的范围设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，所以0m；7分当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0，又因为m(x2x1)60，所以m.7分因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可所以m的取值范围是.12分角度3形如f(x)0(参数ma，b)求x的范围对任意的k1,1，函数f(x)x2(k4)x42k的值恒大于零，则x的取值范围是_x|x3对任意的k1,1，x2(k4)x42k0恒成立，即g(k)(x2)k(x24x4)0，在k1,1时恒成立只需g(1)0且g(1)0，即解得x3.规律方法1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数2对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值