第三章 不等式 第2课时基本不等式的应用 证明与最值问题 自主预习学案 一养殖场想用栅栏围成一个长 宽分别为a b的矩形牧场 现在已有材料能做成lkm的栅栏 那么如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大 C B 3 已知正数a b满足a b 8 则 的最大值为 4 4 已知a 2 求证 loga a 1 loga a 1 1 互动探究学案 命题方向1 不等式的证明技巧 字母轮换不等式的证法 求证 a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 abc a b c 分析 本题中的表达式具有轮换对称关系 将表达式中字母轮换a b c a后表达式不变 这类问题证明一般变为几个表达式 通常几个字母就需几个表达式 迭加 乘 从而获解 例题1 证明 先证a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 a2 b2 2ab a b R a4 b4 2a2b2 b4 c4 2b2c2 c4 a4 2c2a2 2 a4 b4 c4 2a2b2 2b2c2 2c2a2 a4 b4 c2 a2b2 b2c2 c2a2 再证a2b2 b2c2 c2a2 abc a b c a2b2 b2c2 b2 a2 c2 2ab2c 等号在a c时成立 同理a2b2 a2c2 2a2bc 等号在b c时成立 b2c2 a2c2 2abc2 等号在a b时成立 三式相加得 a2b2 b2c2 c2a2 abc a b c 等号在a b c时成立 规律总结 证明不等式时 要注意观察分析其结构特征选取相应的证明方法 若不等式中字母具有轮换对称关系 则常常连用几个形式相同字母不同的不等式迭加获证 点评 不能直接应用基本不等式证明的不等式和连续两次使用基本不等式等号不能同时成立的情形 要通过合理的变形 重新组合 或者 1的代换 等技巧 构造能够运用基本不等式的条件 命题方向2 求参数的取值范围问题 例题2 规律总结 1 恒成立问题求参数的取值范围 常用 分离参数 转化为函数最值问题求解 2 解题思路来源于细致的观察 丰富的联想和充分的知识 技能的储备 要注意总结记忆 例题4 忽视等号成立的条件而致误 辨析 误解中忽视了判定等号是否成立 例题4 均值不等式在实际问题中的应用 D A 3 已知m n R m2 n2 100 则mn的最大值是 A 100B 50C 20D 10 B 36