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圆的方程 空间两点的距离公式知识精讲一. 本周教学内容: 圆的方程;空间两点的距离公式 教学目的: 1. 理解并掌握圆的标准方程,会根据不同条件求得圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练求出它的圆心和半径;能够运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题;探索并掌握圆的一般方程,会用待定系数法求圆的标准方程和一般方程。 2. 能够根据给定直线、圆的方程,会用代数方法讨论直线与圆的三种位置关系;能够根据给定的圆的方程,判断圆与圆的位置关系。 3. 掌握空间直角坐标系的有关概念,会根据坐标找相应的点,会写一些简单几何题的有关坐标;掌握空间两点的距离公式,会应用距离公式解决有关问题。二. 重点、难点 重点: 1. 圆的标准方程以及会根据不同条件求得圆的标准方程;圆的一般方程和如何由圆的一般方程求圆的圆心坐标和半径长,理解关于二元二次方程表示圆的条件。 2. 直线和圆的位置关系的判断和应用;两圆位置关系的判断。 3. 空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标;空间两点距离公式。 难点: 1. 圆的标准方程的探寻过程和对圆的一般方程的认识。 2. 通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系;通过两圆方程联立方程组的解来研究两圆位置关系。 3. 确定点在空间直角坐标系中的坐标;空间距离公式的推导。 知识分析:(一)圆的标准方程 1. 圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。定点叫圆的圆心,定长叫做圆的半径。 2. 圆的标准方程:已知圆心为(a,b),半径为r,则圆的方程为。 说明: (1)上式称为圆的标准方程。 (2)如果圆心在坐标原点,这时a0,b0,圆的方程就是。 (3)圆的标准方程显示了圆心为(a,b),半径为r这一几何性质,即圆心为(a,b),半径为r。 (4)确定圆的条件 由圆的标准方程知有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r,这时圆的方程就被确定因此,确定圆的方程,需三个独立的条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定型条件。 (5)点与圆的位置关系的判定 若点M(x1,y1)在圆外,则点到圆心的距离大于圆的半径,即 ; 若点M(x1,y1)在圆内,则点到圆心的距离小于圆的半径,即 ; 3. 几种特殊位置的圆的方程(二)圆的一般方程 任何一个圆的方程都可以写成下面的形式: 将配方得: 当时,方程表示以()为圆心,以为半径的圆; 当时,方程只有实数解,所以表示一个点(); 当时,方程没有实数解,因此它不表示任何图形。 故当时,方程表示一个圆,方程叫做圆的一般方程。 圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径,而一般方程突出了方程形式上的特点: (1)和的系数相同,且不等于0; (2)没有xy这样的二次项。 以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件,但不是充分条件。 要求出圆的一般方程,只要求出三个系数D、E、F就可以了。(三)直线和圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系 研究直线与圆的位置关系有两种方法: (l)几何法:令圆心到直线的距离为d,圆的半径为r。 dr直线与圆相离;dr直线与圆相切;0dr直线与圆相交。 (2)代数法:联立直线方程与圆的方程组成方程组,消元后得到一元二次方程,其判别式为。 0直线与圆相离;0直线与圆相切;0直线与圆相交。 说明:几何法研究直线与圆的关系是常用的方法,一般不用代数法。 2. 圆的切线方程 (1)过圆上一点的切线方程是; (2)过圆上一点的切线方程是 ; (3)过圆上一点的切线方程是 3. 直线与圆的位置关系中的三个基本问题 (1)判定位置关系。方法是比较d与r的大小。 (2)求切线方程。若已知切点M(x0,y0),则切线方程为 ; 若已知切线上一点N(x0,y0),则可设切线方程为,然后利用dr求k,但需注意k不存在的情况。 (3)关于弦长:一般利用勾股定理与垂径定理,很少利用弦长公式,因其计算较繁,另外,当直线与圆相交时,过两交点的圆系方程为 (四)圆与圆的位置关系 1. 圆与圆的位置关系问题 判定两圆的位置关系的方法有二:第一种是代数法,研究两圆的方程所组成的方程组的解的个数;第二种是研究两圆的圆心距与两圆半径之间的关系。第一种方法因涉及两个二元二次方程组成的方程组,其解法一般较繁琐,故使用较少,通常使用第二种方法,具体如下: 圆与圆的位置关系,其中 设两圆的圆心距为d,则 当时,两圆外离; 当时,两圆外切; 当时,两圆相交; 当时,两圆内切; 当时,两圆内含 注意:两圆的位置关系可表示在一条数轴上,如图所示: 两圆位置关系的问题同直线与圆的位置关系的问题一样,一般要转化为距离间题来解决。另外,我们在解决有关圆的问题时,应特别注意,圆的平面几何性质的应用。 2. 两圆相交问题 (1)过两已知圆的交点的圆系方程, 即 当时,变为,表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时,此直线不存在),当两圆相交时,此直线为公共弦所在直线;当两圆相切时,此直线为两圆的公切线;当两圆相离时,此直线为与两圆连心线垂直的直线。 (2)过直线与圆交点的圆系方程 设直线与相交,则方程表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程。(五)空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系 为了确定空间点的位置,我们在空间中取一点O作原点,过O点作三条两两垂直的数轴,通常用x、y、z表示轴的方向通常这样选择:从z轴的正方向看,x轴的正半轴沿逆时针方向转90能与y轴的正半轴重合。这时,我们在空间建立了一个直角坐标系Oxyz。在这个过程中,三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础。 2. 点P的坐标 过点P作一个平面平行于平面yOz(这样构造的平面同样垂直于x轴),这个平面与x轴的交点记为P,它在x轴上的坐标为x,这个数x就叫做点P的x坐标。你能试述点P的y坐标,点P的z坐标吗? 3. 坐标平面 每两条坐标轴分别确定的平面yOz、xOz、xOy叫做坐标平面。 4. 特殊点的坐标形式 xOy平面是坐标形如(x,y,0)的点构成的点集,其中x、y为任意实数; xOz平面是坐标形如(x,0,z)的点构成的点集,其中x、z为任意实数; yOz平面是坐标形如(0,y,z)的点构成的点集,其中y、z为任意实数; x轴是坐标形如(x,0,0)的点构成的点集,其中x为任意实数; y轴是坐标形如(0,y,0)的点构成的点集,其中y为任意实数; z轴是坐标形如(0,0,z)的点构成的点集,其中z为任意实数。 5. 卦限 三个坐标平面把空间分为八部分,每一部分称为一个卦限。 在坐标平面xOy上方分别对应该坐标平面上四个象限的卦限称为第、第、第、第卦限;在下方的卦限称为第、第,第、第卦限。在每个卦限内点的坐标各分量的符号是不变的。例如在第卦限,三个坐标分量x、y、z都为正数;在第卦限,x为负数,y、z均为正数。(六)空间两点的距离公式 空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)的距离公式是 特别的,点A(x,y,z)到原点的距离为【典型例题】 例1. 求满足下列条件的各圆的方程: (1)圆心在原点,半径是3; (2)圆心在点C(3,4),半径是; (3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,3); (4)圆心在直线5x3y8上,又圆与坐标轴相切,求此圆方程; (5)圆心在直线y2x上,且与直线y1x相切于点(2,1)。 解析:(1); (2); (3); (4)设所求圆的方程为 因为圆与坐标轴相切,故圆心满足, 又圆心在直线上,所以, 解方程组,得: 所以圆心坐标为(4,4),或(1,1) 于是可得半径, 故所求圆的方程为或。 (5)设圆心为(a,2a)由题意,圆与直线相切于点(2,1),得 解得:a1 所以所求圆的圆心为(1,2),半径为 故圆的方程为 点评:一般情况下,如果已知圆心或圆心到某直线的距离,可用圆的标准方程来求解。用待定系数法,求出圆心坐标和半径。 例2. 求圆心在直线2xy30上,且过点(5,2)和点(3,2)的圆的方程。 解析:法一 设圆的方程为,则 解得 法二:因为圆过A(5,2),B(3,2)两点,所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上,线段AB的垂直平分线方程为 设所求圆的圆心坐标为C(a,b),则有 解得 所以C(2,1), 所求圆的方程为 点评:确定圆的方程需要三个独立条件,“选标准,定参数”是解题的基本方法,其中,选标准是根据已知条件选恰当的方程的形式,进而确定其中三个参数。 例3. 已知圆C和y轴相切,圆心在直线x3y0上,且被直线yx截得的弦长为,求圆C的方程。 解析:设圆C的方程为 又圆C与y轴相切得 又圆心在直线上, 圆心C(a,b)到直线的距离为 由于弦心距d、半径r及弦的一半构成直角三角形,所以 联立解方程组可得 或 故圆C的方程为:或 点评:利用圆的几何性质,是迅速、准确解出本题的关键。 例4. 求过点A(2,2),B(5,3),C(3,1)的圆的方程。 解析:设所求的圆的方程为 将A(2,2),B(5,3),C(3,1)三点的坐标代入圆的方程 得 解得 圆的方程为: 点评:一般来说,由题意知道所求的圆经过几点且不易得知圆心换半径时,常用一般式。 例5. 已知圆,定点P(4,0),问过P点的直线的斜率在什么范围内取值时,这条直线与已知圆: (1)相切; (2)相交; (3)相离,并写出过P点的切线方程。 解析:法一 设过P点的直线的斜率为k,则其方程为 由消去y,得 即 (1)令,即 当时,直线与圆相切,切线方程为或 (2)令,即 当时,直线与圆相交 (3)令,即或时,当或时,直线与圆相离 法二:设圆心到直线的距离为d,则 (1),即, 时,直线与圆相切,其切线方程为或 (2)时,即,即时,直线与圆相交 (3),即, 即或时直线与圆相离 点评:解决直线与圆的位置关系,几何法比代数法简单。 例6. 已知直线,曲线,它们有两个公共点,求b的取值范围。
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