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圆锥曲线与平面向量的综合【例4】(2004年辽宁卷.19)设椭圆方程为,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足,点N的坐标为,当l绕点M旋转时,求: ()动点P的轨迹方程; ()的最小值与最大值. 解: ()解法一:直线l过点M(0,1)设其斜率为k,则l的方程为记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组 的解. 将代入并化简得,所以于是设点P的坐标为则消去参数k得 当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程,所以点P的轨迹方程为解法二:设点P的坐标为,因、在椭圆上,所以 得,所以当时,有 并且 将代入并整理得 当时,点A、B的坐标为(0,2)、(0,2),这时点P的坐标为(0,0)也满足,所以点P的轨迹方程为()由点P的轨迹方程知所以 故当,取得最小值,最小值为时,取得最大值,最大值为 【例5】(2004年天津卷.理22) 椭圆的中心是原点O,它的短轴长为,相应于焦点F(c,0)()的准线与x轴相交于点A,|OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P,Q两点. ()求椭圆的方程及离心率;()若,求直线PQ的方程;()设(),过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M,证明. 解: ()由题意,可设椭圆的方程为. 由已知得解得所以椭圆的方程为,离心率.()由(1)可得A(3,0).设直线PQ的方程为.由方程组得依题意,得.设,则, . 由直线PQ的方程得.于是. ,. 由得,从而.所以直线PQ的方程为或()证明:.由已知得方程组注意,解得因,故.而,所以.【例6】已知是椭圆上的两点,为坐标原点,直线的方向向量依次为和,且是一个与无关的定值.()求的值;()若双曲线的焦点在轴上,渐近线方程为,椭圆与双曲线的离心率依次为和,求的取值范围.解:()由题设,直线的方程为,直线的方程为.由方程组 解得 . , 同理可得, . 因为与无关,则有. 解得 . ()双曲线的渐近线方程是 . 双曲线的方程为所以, ,. 令,由可知,. 设,则 由于在内是增函数,所以. 于是,的取值范围是.【例7】已知向量,动点M到定直线y=1的距离等于d,并且满足,其中O是坐标原点,k是参数,()求动点M的轨迹方程,并判断曲线类型;()如果 动点M的轨迹是一条圆锥曲线, 其离心率 e满 足e,求k的取值范围.解: () 令M(x,y),则代入条件这就是动点M的轨迹方程当k=1时,表示直线y=0;当k=0时,表示圆;当k1时,表示双曲线;当0k1时或k0时,表示椭圆 ()由点的轨迹为椭圆 10k1时,a2=1,b2=1-k,c2=k,e2=k2k0时,结合综上所述:【例8】已知动直线l : y=kx+2与椭圆+y2=1交于A, B两点, y轴上有一动点P(0,b).令向量v= (a,b),其中a为一个给定的常数(a,且有b|+与v共线=(,(0.+).求出a的值.解 :设A 为(x1, y1), B为(x2, y2),线段AB中点为M(xo, yo), +=2+与v共线等价于与v共线,=(xo, yob), v=(a,b),由与v共线得bxoa(yob)=0,即 b xoa yo+a b=0,由, 消去y得 +(kx+2)2=1,即(1+4k2)x2+16kx+12=0, () 两根为x1, x2, x1+x2=. xo=, yo= kxo+2=, +ab=0, b=.b|+与v共线=(,(0,+), ,或0,34k2+10,或4k2+10,又方程()的=(16k)2412(1+4k2)0,得k,或k.必须且只需函数f (x)=4x2x+1,在x,或x时,最小值为3. f (x)图象的对称轴是x=0,于是由f (x)图象可知:(1)当0时 的斜率为k= 的方程为整理得 ()是.设c=,由椭圆的第二定义得 |PF1|=a+ =-结论成立用心 爱心 专心 115号编辑 8
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