一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 已知复数 1 3 zii i为虚数单位 则z的虚部为 A 2B 2iC 4D 4i 解 易知复数 1 3 42ziii 故z的虚部为 2 选 A 2 设集合 11Mx x 1Nx x 则MN A 1x x B 1x x 或 2x C 01xx D 0 x x 解 由 1120Mx xx xx 或且 1Nx x 得 0Mnx x 选 D 3 已知函数 f x是定义在R上的奇函数 当 0 x 时 32 2f xxx 则 3 f A 9B 9C 45D 45 解 由 3 3 27 18 45ff 选 C 4 若10 1 bca 则下列不等式不正确的是 A 20192019 loglogab B loglog cb aa C bc abcabc D bc acaaca 解 由1 01acb 有 0 cb aaac 故有 cb ac aac a 选 D 5 已知函数 2 1 44 f x xx 则 f x的大致图象是 ABCD 解 易知当01x 时 0f x 01xx 或时 0f x 可排除 A C 又可由 11 32 ff 排除 D 故选 B 6 甲 乙两名同学在 6 次数学考试中 所得成绩用茎叶图表示如下 若甲 乙两人这 6 次考试的平 均成绩分别用x甲 x乙表示 则下列结论正确的是 A xx 甲乙 且甲成绩比乙成绩稳定 B xx 甲乙 且乙成绩比甲成绩稳定 C xx 甲乙 且甲成绩比乙成绩稳定 D xx 甲乙 且乙成绩比甲成绩稳定 解 根据茎叶图中数据可求得82x 甲 83x 乙 2 74 3 S 甲 2 164 3 S 乙 故选 C 安徽六校教育研究会 2020 届高三第一次素质测试安徽六校教育研究会 2020 届高三第一次素质测试 文科数学参考答案 1 7 如图程序框图是为了求出满足3 22020 nn 的最小偶数 n 那么在 和两个空白框中 可以分别填入 A 2020A 和1nn B 2020A 和2nn C 2020A 和1nn D 2020A 和2nn 解 因为要求2020A 时输出 且框图中在 否 时输出 所以 内不能输入 2020A 又要求 n 为偶数 且 n 的初始值为 0 所以 中 n 依次加 2 可保证其为 偶数 所以 D 选项满足要求 故选 D 8 函数 sinf xAx 其中0 2 A 的图象如图所示 则 f A 1B 1 2 C 2 2 D 3 2 解 由图象知1A 7 4 123 T 则 2 2 T 此时 sin 2f xx 将 7 1 12 代入解析式得 7 sin1 6 又 2 则 3 所以 sin 2 3 fxx 所以 3 sin 32 f 故选 D 9 如图 在平行四边形ABCD中 M N分别为AB AD上的点 且 4 5 AMAB 连接AC MN交于P点 若 4 11 APAC 则点N 在AD上的位置为 A AD中点B AD上靠近点D的三等分点 C AD上靠近点D的四等分点D AD上靠近点D的五等分点 解 假设AN AD 4 5 AMAB 4445154 111111 41111 APACABADAMANAMAN 三点 M N P 共线 542 1 11113 故选 B 2 10 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的右焦点为F 短轴的一个端点为P 直线 430lxy 与椭圆相交于A B两点 若 6AFBF 点P到直线l的距离不小于 6 5 则椭圆离心率的取 值范围为 A 9 0 5 B 3 0 2 C 5 0 3 D 13 32 解 设椭圆的左焦点为 F P为短轴的上端点 连接 AF BF 如下图所示 由椭圆的对称性可知 A B关于原点对称 则OAOB 又OFOF 四边形AFBF 为平行四边形 AF BF 又26AFBFBFBFa 解得 3a 点P到直线l距离 36 55 b d 解得 2b 即 222 92acc 05c 5 0 3 c e a 本题正确选项 C 11 某罐头加工厂库存芒果 m kg 今年又购进 n kg新芒果后 欲将芒果总量的三分之一用于加 工为芒果罐头 被加工为罐头的新芒果最多为 1 fkg 最少为 2 fkg 则下列坐标图最能准确描 述 1 f 2 f分别与n的关系的是 解 要使得被加工为罐头的新芒果最少 尽量使用库存芒果 即当 mn m n2m 3 时 此时 2 f0 当n2m 时 2 nmn2m fm 33 对照图象舍去 B D 要使得被加工为罐头的新芒果最多 则尽量使用新芒果 即当 mnm n n 32 时 1 mn f 3 当 mnm n n 32 时 1 fn 因为 m 2m 2 所以选 C 3 12 如图 12 FF 是双曲线 22 22 1 0 0Ca xy ab b 的左 右焦点 过 2 F的直线与双曲线C交 于A B 两点 若 11 3 4 5ABBFAF 则双曲线的渐近线方程为 A xy32 B xy22 C xy3 D xy2 解 设 2 3AFtABx 则 11 4 5BFAFxx 根据双曲线的定义 得 1221 2AFAFBFBFa 即 5342xtxtxa 解得 3 tx ax 11 3 4 5ABBFAF 得 1 ABF 是以B为直角的直角三角形 1 1 3 cos 5 AB BAF AF 可得 21 3 cos 5 F AF 21 F AF 中 222 12121221 2co s FFAFAFAFAFF AF 222 3 2592 5352 5 xxxxx 可得 12 2 13FFx 因 此 该双曲线的离心率 22 13 13 22 cx e ax 所以渐近线为xy32 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 若函数 ln2f xxax 的图象存在与直线20 xy 垂直的切线 则实数a的取值范围 是 解 由 ln2f xxax 有 1 2fxa x 则由题意即 11 2 2 a x 在 0 上有解 由 111 2 22 a x 有实数a的取值范围是 1 4 14 设等差数列 n a的公差d不为 0 1 16ad 若 k a是 1 a与 2k a的等比中项 则k等 于 解 易知 2 16 1 15 16 21 215 kk adkdkd adkdkd 由 k a是 1 a与 2k a的 等比中项可得 2 16 215 15 akdkd 化简 2 2150kk 得 有唯一正整数解为 5 15 将函数 4cos 2 f xx 和直线 1g xx 的所有交点从左到右依次记为 1 A 2 A 5 A 若P点坐标为 0 3 则 125 PAPAPA 解 4 函数 4cos 2 f xx 与 1g xx 的所有交点从左往右依次记为 1 A 2 A 3 A 4 A和 5 A 且 1 A 和 5 A 2 A和 4 A 都关于点 3 A对称 如图所示 则 1253 55 1 3 53 PAPAPAPA 5 所以 125 PAPAPA 10 16 如图 在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D 中 点M是AD的中点 动点P在底面ABCD内 不包括边界 若 1 B P 平面 1 ABM 则 1 C P的最小 值是 解 如图 在 11 AD上取中点Q 在BC上取中点N 连接 11 DN NB BQ QD DNBM 1 DQAM且DNDQD 1 BMAMM 平面 1 BQDN平面 1 ABM 则动点P的轨迹是DN 不含 D N两点 又 1 CC 平面ABCD 则当CPDN 时 1 C P取得最小值 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 设等比数列 n a满足 13 20aa 24 10aa 令 123nn Ta a aa 求 n T的最大值 令 2 log nn ba 求数列 nn a b的前n项和 n S 解 由题 24 12 1 2 aa q aa 又由 2 11 20aa q 可得 1 16a 故 1 5 1 162 2 n n n anN 2 分 则14n 时1 5 n an 时1 n a 6n 时 01 n a 则4n 或 5 时 123nn Ta a aa 最大为16 8 4 21024 5 分 5 令 2 log5 nn ban 则 5 5 2 n nn a bn 435 4 23 2 5 2 n n Sn 324 1 4 23 2 5 2 2 n n Sn 两式相减得 3254 1 64 222 5 2 2 nn n Sn 7 分 1 4 1 8 1 2 64 5 2 1 1 2 n n n 14 64 16 21 5 2 nn n 544 482 5 248 3 2 nnn nn 则 5 96 3 2 n n SnnN 10 分 18 本小题满分 12 分 在ABC 中 a b c分别为角 A B C的对边 且 求角A 若3a 求2bc 的最大值 解 由 有 可得 易得 4 分 由2 3 sinsinsin abc ABC 得22 3 sin2sin bcBC 2 3 sin2sin 1202 3 2sin3cos BBBB 8 分 2 21sin B 其中 3 tan 0 22 由 2 0 3 B 存在B使得 2 B sin B 的最大值为 1 2bc 的最大值为2 21 12 分 19 本小题满分 12 分 某商场近 5 个月的销售额和利润额如下表所示 销售额x 千万元35679 利润额y 百万元13345 画出散点图 观察散点图 说明两个变量有怎样的相关关系 求出利润额y关于销售额x的回归直线方程 6 当销售额为 4 千万元时 利用 的结论估计该商场的利润额 百万元 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx aybx 解 散点图如图所示 2 分 两个变量正相关 且具有线性相关关系 4 分 易求得6 3 2xy 5 分 由公式有 2222 3 2 2 1 0 20 1 0 83 1 820 0 65 311313 b 7 分 且 3 20 65 60 7a 9 分 则线性回归方程为 0 650 7yx 10 分 当4x 时 由 可求得 1 9y 即利润额约为 1 9 百万元 12 分 20 本小题满分 12 分 解 连接 1 BC 因为侧面 11 BBCC为菱形 所以 1 BC 1 BC 且 1 BC与 1 BC相交于O点 因为AO 平面 11 BBCC 1 BC 平面 11 BBCC 所以 1 BCAO 又 1 BCAOO 所以 1 BC 平面ABO 因为AB 平面ABO 所以 1 BC AB 4 分 由 1 ACAB 且AO垂直平分 1 BC可知 1 ACB 是等腰直角三角形 则 1 1 2 AOBC 又 得 11 1BCBCB B 7 分 7 1 2 AO 且等边 1 BCB 中 3 2 BO 故Rt AOB 中 2 2 13 1 22 AB 又 2 2 AC 易求得等腰ABC 中AC边上的高为 14 4 则 12147 2248 ABC S 10 分 由 1 1 1 3 8 ABC A B CABC VSh 有 21 7 h 12 分 21 本小题满分 12 分 已知函数 2 lnf xxax aR 讨论函数 f x的极值点情况 若2a 存在 1 x 2 x 1 n xe e 使得 121 nn f xf xf xf x 成立 求n的最大值 解 定义域为 0 2 2 2 axa fxx xx 1 分 故当0a 时 0fx 所以函数 f x在 0 上单调递增 无极值点 2 分 当0a 时 令 0fx 得 2 2 a x 所以函数 f x在