2019全国卷高考压轴卷数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）ABCD2已知是实数，是纯虚数，则等于（ ）ABCD13“”是“函数在区间内单调递增”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4已知双曲线的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ）ABCD5若，则（ ）ABCD6已知平面向量，满足，则（ ）A2B3C4D6SSdx开始否im？结束是i1，S0ii1输出S7执行右边的程序框图，输出的,则m的值为（ ）A2017 B2018 C2019 D20208据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ）ABCD9已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD10将的图像向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图像，则下列关于函数的说法错误的是（ ）A函数的最小正周期是B函数的一条对称轴是C函数的一个零点是D函数在区间上单调递减11焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ）A或BC或D12定义在上的函数满足，且当时，对，使得，则实数的取值范围为（ ）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知若则 14在的展开式中，各项系数之和为256，则项的系数是_15.知变量，满足条件，则目标函数的最大值为 16如图，在中，点在线段上，且，则的面积的最大值为_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足：，且，成等比数列（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和18 （本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设表示得分在区间中参加全市座谈交流的人数，求的分布列及数学期望19（本小题满分12分）如图，底面是边长为3的正方形，平面，与平面所成角为（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值20 （本小题满分12分）过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，与抛物线准线的交点为，点在抛物线准线上的射影为，若，的面积为（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，抛物线在，点处的切线分别为，且与相交于点，与轴交于点，求证：21 （本小题满分12分）设函数（1）探究函数的单调性；（2）若时，恒有，试求的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，圆的普通方程为在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为（1）写出圆的参数方程和直线的直角坐标方程；（2）设直线与轴和轴的交点分别为，为圆上的任意一点，求的取值范围23（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数（1）设的解集为，求集合；（2）已知为（1）中集合中的最大整数，且（其中，为正实数），求证：2019全国卷高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】B【解析】集合，则，故选B2【答案】D【解析】是纯虚数，则要求实部为0，即故选D3【答案】C【解析】当时，在区间上单调递增；当时，结合函数的图像知函数在上单调递增，如图1-7(a)所示；当时，结合函数的图像知函数在上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数在上单调递增，只需，即“”是“函数在区间内单调递增”的充要条件.故选C.4【答案】C【解析】由题意可设双曲线的右焦点，渐进线的方程为，可得，可得，可得离心率，故选C5【答案】D【解析】因为，所以由指数函数的单调性可得，因为，所以可排除选项，；，时，可排除选项，由指数函数的性质可判断正确，故选D6【答案】B【解析】由题意可得：，且：，即，由平面向量模的计算公式可得：故选BSSdx开始否im？结束是i1，S0ii1输出S7【答案】B【解析】第一次循环，第二次循环，第三次循环，第四次循环，推理可得m=2018，故选B8【答案】A【解析】设事件A为发病，事件B为发病，由题意可知：，则，由条件概率公式可得：故选A9【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为，高为三棱锥的底面是两直角边分别为，的直角三角形，高为则几何体的体积故本题答案选C10【答案】D【解析】由题意可知：，图像向左平移个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为：则函数的最小正周期为，A选项说法正确；当时，函数的一条对称轴是，B选项说法正确；当时，函数的一个零点是，C选项说法正确；若，则，函数在区间上不单调，D选项说法错误；故选D11【答案】A【解析】过作与准线垂直，垂足为，则，则当取得最大值时，必须取得最大值，此时直线与抛物线相切，可设切线方程为与联立，消去得，所以，得则直线方程为或故本题答案选A12【答案】D【解析】因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上的值域是，在上的值域是，所以函数在上的值域是，因为，所以，所以在上的值域是，当时，为增函数，在上的值域为，所以，解得；当时，为减函数，在上的值域为，所以，解得，当时，为常函数，值域为，不符合题意，综上，的范围是，故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13 【答案】【解析】解析：因为的定义域为R,关于原点对称，故则14【答案】7【解析】令可得各项系数和：，据此可得：，展开式的通项公式为：，令可得：，令可得：，不是整数解，据此可得：项的系数是15.【答案】【解析】 作出，表示的可行域，如图变形目标函数，其中为向量与的夹角，由图可知，时有最小值，在直线上时，有最大值，即，目标函数的最大值为，故选C16【答案】【解析】由可得：，则由可知：，则，由同角三角函数基本关系可知：设，在中由余弦定理可得：，在中由余弦定理可得：，由于，故，即：，整理可得：在中，由余弦定理可知：，则：，代入式整理计算可得：，由均值不等式的结论可得：，故，当且仅当，时等号成立，据此可知面积的最大值为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）【答案】（1），；（2）【解析】（1）设的公差为，则由已知得，即，解之得：或（舍），所以；因为，所以的公比，所以（2）由（1）可知，所以，所以，所以18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）【解析】（1）由题意知之间的频率为：，获得参赛资格的人数为人（2）在区间与，在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间与各抽取5人，2人结果是5人，2人（3）的可能取值为0，1，2，则：；故的分布列为：01219（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（2）（1）证明：平面，平面，又底面是正方形，平面（2）解：，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，与平面所成角为，即，由，可知，则，设平面的一个法向量为，则即令，则平面，为平面的一个法向量，二面角为锐角，二面角的余弦值为20.（本小题满分12分）【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）因为，所以到准线的距离即为三角形的中位线的长，所以，根据抛物线的定义，所以，解得，所以抛物线的标准方程为（2）易知直线的斜率存在，设直线，设，联立消去得，得，设，得点坐标，由，得，所以，即21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）；（3）见解析【解析】（1）函数的定义域为由，知是实数集上的增函数（2）令，则，令，则（i）当时，从而是上的减函数，注意到，则时，所以，进而是上的减函数，注意到，则时，时，即（ii）当时，在上，总有，从而知，当时，；（iii）当时，同理可知，综上，所求的取值范围是请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22.（本小题满分10分）【答案】（1），；（2）【解析】（1）圆的参数方程为（为参数）直线的直角坐标方程为（2）由直线的方程可得点，点设点，则由（1）知，则因为，所以23（本小题满分10分）【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）即，当时，不等式化为，；当时，不等式化为，不等式恒成立；当时，不等式化为，综上，集合（2）由（1）知，则则，同理，则，即