第17章 勾股定理 专项训练专训1.巧用勾股定理求最短路径的长名师点金：求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)用计算法求平面中最短问题1如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B，为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了_步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草(第1题)2小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB80 km，BC20 km，ABC120.请你帮助小明解决以下问题：(1)求A，C之间的距离(参考数据4.6)(2)若客车的平均速度是60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为40 km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由(不计候车时间)(第2题)用平移法求平面中最短问题3如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬()A13 cm B40 cm C130 cm D169 cm(第3题)(第4题)4如图，已知BCDE90，且ABCD3，BC4，DEEF2，则AF的长是_用对称法求平面中最短问题5如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE3，EB1，在AC上有一点P，使EPBP最短，求EPBP的最短长度(第5题)6高速公路的同一侧有A、B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA2 km，BB4 km，AB8 km.要在高速公路上A、B之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小求这个最短距离(第6题)用展开法求立体图形中最短问题类型1圆柱中的最短问题(第7题)7如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是_(结果保留根号)类型2圆锥中的最短问题8已知：如图，观察图形回答下面的问题：(1)此图形的名称为_(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个_(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90，请你求出蜗牛爬行的最短路程(第8题)类型3正方体中的最短问题9如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长(第9题)类型4长方体中的最短问题10如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程(第10题)专训2.巧用勾股定理解折叠问题名师点金：折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；(2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)进行相关计算解决问题巧用全等法求折叠中线段的长1(中考泰安)如图是一直角三角形纸片，A30，BC4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C处，折痕为BD，如图，再将图沿DE折叠，使点A落在DC的延长线上的点A处，如图，则折痕DE的长为()(第1题)A. cm B2 cmC2 cm D3 cm巧用对称法求折叠中图形的面积2如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C处，BC交AD于E，AD8，AB4，求BED的面积(第2题)巧用方程思想求折叠中线段的长3如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.(1)求证：ABGAFG；(2)求BG的长(第3题)巧用折叠探究线段之间的数量关系4如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接CE.(1)求证：AEAFCECF；(2)设AEa，EDb，DCc，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式(第4题)专训3.利用勾股定理解题的7种常见题型名师点金：勾股定理建立起了“数”与“形”的完美结合，应用勾股定理可以解与直角三角形有关的计算问题，证明含有平方关系的几何问题，作长为(n为正整数)的线段，解决实际应用问题及专训一、专训二中的最短问题、折叠问题等，在解决过程中往往利用勾股定理列方程(组)，有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化斜为直来解决问题利用勾股定理求线段长1如图所示，在等腰直角三角形ABC中，ABC90，点D为AC边的中点，过D点作DEDF，交AB于E，交BC于F，若AE4，FC3，求EF的长(第1题)利用勾股定理作长为的线段2已知线段a，作长为a的线段时，只要分别以长为和的线段为直角边作直角三角形，则这个直角三角形的斜边长就为a.利用勾股定理证明线段相等3如图，在四边形ABFC中，ABC90，CDAD，AD22AB2CD2.求证：ABBC.(第3题)利用勾股定理证明线段之间的平方关系4如图，C90，AMCM，MPAB于点P.求证：BP2BC2AP2.(第4题)利用勾股定理解非直角三角形问题5如图，在ABC中，C60，AB14，AC10.求BC的长(第5题)利用勾股定理解实际生活中的应用6在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h，并在离该公路100 m处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60方向上，点C在点A的北偏东45方向上另外一条公路在y轴上，AO为其中的一段(1)求点B和点C的坐标；(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15 s，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速(参考数据：1.7)(第6题)利用勾股定理探究动点问题7如图，在RtABC中，ACB90，AB5 cm，AC3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒(1)求BC边的长；(2)当ABP为直角三角形时，借助图求t的值；(3)当ABP为等腰三角形时，借助图求t的值(第7题)答案专训114(第2题)2解：(1)如图，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E.ABC120，BCE30.在RtCBE中，BC20 km，BE10 km.由勾股定理可得CE10 km.在RtACE中，AC2AE2CE2(ABBE)2CE28 1003008 400，AC20204.692(km)(2)选择乘“武黄城际列车”理由如下：乘客车需时间t11(h)，乘“武黄城际列车”需时间t21(h)11，选择乘“武黄城际列车”(第3题)3C点拨：将台阶面展开，连接AB，如图，线段AB即为壁虎所爬的最短路线因为BC303103120(cm)，AC50 cm，在RtABC中，根据勾股定理，得AB2AC2BC216 900，所以AB130 cm.所以壁虎至少爬行130 cm.4105解：如图，连接BD交AC于O，连接ED与AC交于点P，连接BP.(第5题)易知BDAC，且BOOD，BPPD，则BPEPED，此时最短AE3，AD134，由勾股定理得ED2AE2AD232422552，EDBPEP5.6解：如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则点P即为所建的出口此时A、B两城镇到出口P的距离之和最小，最短距离为AC的长作ADBB于点D，在RtADC中，ADAB8 km，DC6 km.AC10 km，这个最短距离为10 km.(第6题)72点拨：将圆柱体的侧面沿AD剪开并铺平得长方形AADD，连接AC，如图线段AC就是小虫爬行的最短路线根据题意得AB22.在RtABC中，由勾股定理，得AC2AB2BC222228，AC2.(第7题)8解：(1)圆锥(2)扇形(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线(4)在RtASC中，由勾股定理，得AC210252125，AC5.故蜗牛爬行的最短路程为5.(第8题)(第9题)9解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC1和AC1.(2)如图，AC14.AC14.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是4.10解：分为三种情况：(1)如图，连接EC，在RtEBC中，EB12820(cm)，BC3015(cm)由勾股定理，得EC25(cm)(2)如图，连接EC.根据勾股定理同理可求CE cm25 cm.(3)如图，连接EC.根据勾股定理同理可求CE(cm)25 cm.综上可知，小虫爬行的最短路程是25 cm.(第10题)专训21A2解：由题意易知ADBC，23.BCD与BCD关于直线BD对称，12.13.EBED.设EBx，则EDx，AEADED8x.在RtABE中，AB2AE2BE2，42(8x)2x2.x5.DE5.SBEDDEAB5410.解题策略：解决此题的关键是证得EDEB，然后在RtABE中，由