第七章第七章 拉 压 杆件的应力变形分析拉 压 杆件的应力变形分析 与强度设计与强度设计 第一节第一节 拉伸与压缩杆件的应力与强度设计拉伸与压缩杆件的应力与强度设计 第二节第二节 拉伸与压缩杆件的变形拉伸与压缩杆件的变形 第三节第三节 拉 压 杆静不定问题拉 压 杆静不定问题 第四节第四节 材料受拉伸与压缩时的力学性能材料受拉伸与压缩时的力学性能 一 横截面上的正应力一 横截面上的正应力 1 1 实验观察实验观察 平面假设 变形前是平面的横截面 变形后仍平面假设 变形前是平面的横截面 变形后仍 然保持为平面且仍垂直于轴线 然保持为平面且仍垂直于轴线 第一节第一节 拉伸与压缩杆件的应力与强度设计拉伸与压缩杆件的应力与强度设计 设想拉 压 杆由纵向纤维组成 根据平面假设 拉 压 杆设想拉 压 杆由纵向纤维组成 根据平面假设 拉 压 杆 所有纵向纤维的伸长 缩短 是相同的 从而推得 拉 压 所有纵向纤维的伸长 缩短 是相同的 从而推得 拉 压 杆横截面上杆横截面上只有正应力 横截面没扭转 且各点的正应力只有正应力 横截面没扭转 且各点的正应力 相等 相等 E E 即横截面上正应力均匀分布 即横截面上正应力均匀分布 正应力正应力 和轴力和轴力F FN N同号 即拉应力为正 压应力为负 若杆同号 即拉应力为正 压应力为负 若杆 轴力 截面沿轴线缓慢变化 横截面上的正应力为轴力 截面沿轴线缓慢变化 横截面上的正应力为x x的函数 的函数 N xFxA x 1 1 横向线横向线abab和和cdcd仍为直线 且仍然垂直于轴线仍为直线 且仍然垂直于轴线 2 2 acac和和bdbd分别平行移至分别平行移至a a c c 和和b d b d 且伸长量相等且伸长量相等 F F a b c d a b c d 观察拉伸现象 观察拉伸现象 圣维南原理圣维南原理 将原力系用静力等效的新力系来替代 除了对原力系作用附近将原力系用静力等效的新力系来替代 除了对原力系作用附近 的应力分布有明显影响外 在离力系作用区域略远处 距离约等的应力分布有明显影响外 在离力系作用区域略远处 距离约等 于截面尺寸 该影响非常微小 于截面尺寸 该影响非常微小 F F F 二 应力集中的概念二 应力集中的概念 应力集中 由于截面急剧变化所引起的应力局部增大的现象 应力集中 由于截面急剧变化所引起的应力局部增大的现象 D d 2 d 2 r r F F max nom F D d r F F max nom F 应力集中取决于杆件截面突变处几何参数的比值应力集中取决于杆件截面突变处几何参数的比值 d r2r D 应力集中系数应力集中系数 max 平均 D d 2 d 2 r r F F D d r F F 三 安全系数和许用应力三 安全系数和许用应力 1 1 极限应力极限应力 危险应力危险应力 材料所能承受的最大应力 材料所能承受的最大应力 o 2 2 安全系数安全系数 包含种种变异和安全裕度的大于包含种种变异和安全裕度的大于 1 1 的数 的数 0 2 4 1 n5 2 0 2 n塑性材料塑性材料 脆性材料 脆性材料 3 3 许用应力许用应力 o n 四 拉 压 杆强度条件四 拉 压 杆强度条件 Nmax max F A 三类强度计算问题 三类强度计算问题 强度校核 强度校核 判别最大应力是否超过许用应力 杆件的最大应力超判别最大应力是否超过许用应力 杆件的最大应力超 过许用应力 但不超过许用应力的过许用应力 但不超过许用应力的5 5 认为是安全的 认为是安全的 截面设计 截面设计 确定许用载荷 确定许用载荷 拉压杆横截面上最大应力小于或等于许用值 拉压杆横截面上最大应力小于或等于许用值 Nmax F A Nmax FA 强度计算解题步骤强度计算解题步骤 3 3 建立危险点强度条件 建立危险点强度条件 1 1 计算杆件的内力 作内力图 计算杆件的内力 作内力图 2 2 确定危险截面 计算危险点应力 确定危险截面 计算危险点应力 例例7 7 1 1 已知已知F F1 1 10kN 10kN F F2 2 20kN 20kN F F3 3 35kN 35kN F F4 4 25kN 25kN A A 200mm200mm2 2 160MPa 160MPa 校核杆的强度 校核杆的强度 解解 1 1 作出轴力图 作出轴力图 F1 F3 F2 F4 A B C D 10 kN 10 kN 25 kN 2 2 危险截面在CD段 求应力求应力 3 Nmax max 6 25 10 Pa 200 10 125MPa F A 3 3 强度校核强度校核 max 125MPa 核杆的强度安全 核杆的强度安全 例例7 7 2 2图示的结构中两杆材料相同 许用拉应力图示的结构中两杆材料相同 许用拉应力 170 MPa 170 MPa 1 1 如如ACAC杆的截面积为杆的截面积为 400mm400mm2 2 BCBC杆的截面积为杆的截面积为25250mm0mm2 2 试求 试求 许用载荷许用载荷 F F 2 2 如载荷如载荷F 60 kNF 60 kN 试求两杆所需的最小截面积 试求两杆所需的最小截面积 解解 1 1 求许用载荷求许用载荷F F 取节点取节点C C为研究对象为研究对象 NN 0 sin45 sin300 xBCAC FFF NN 0 cos45cos30 0 yBCAC FFFF 联立求解得联立求解得 FF AC 732 0 N FF BC 517 0 N N170400732 0 N FF AC 92 896N92 9kNF N170250517 0 N FF BC 由强度条件 又 解得 比较知 结构的许用载荷为 82 2kNF 82 2kNF Nmax max F A N 0 51731 020N BC FF 2 求两杆所需的最小面积 N 0 73243 920N AC FF 根据强度条件 2422N 6 43 920 m2 58 10 m258mm 170 10 AC AC F A 2422N 6 31 020 m1 82 10 m182mm 170 10 BC BC F A Nmax max F A 杆件在轴向拉压时 杆件在轴向拉压时 沿轴线方向产生伸长或缩短 纵向变形 横向尺寸也相应地发生改变 横向变形 第二节第二节 拉拉 压压 杆的轴向变形杆的轴向变形 一 一 杆件的纵向变形和应变杆件的纵向变形和应变 lll 1 N F l l EA E l l E E为弹性摸量为弹性摸量 EAEA为抗拉刚度 为抗拉刚度 l l 的符的符 号和轴力一致 号和轴力一致 A FN l l1 b b1 F F F F 杆沿长度均匀变形 杆沿长度均匀变形 因为因为 根据胡克定律 根据胡克定律 若轴力沿轴线连续变化 取微元若轴力沿轴线连续变化 取微元d dl l 在 在d dl l长度上轴力长度上轴力F FN N x x 可视为常数 变形量可视为常数 变形量 EA lxF l d d N N d l Fxl l EA 当拉 压 杆有两个以上的外力作用时 需要先画出轴力图 然 后分段计算各段的变形 各段变形的代数和即为杆的总伸长量 二 杆件的横向变形和应变二 杆件的横向变形和应变 bbb 1 b b 钢材的钢材的 E E 约为约为 200 GPa200 GPa 约为约为0 250 25 0 330 33 泊松比 泊松比 横向应变 横向应变 各向同性材料 三个材料常数存在以下关系 各向同性材料 三个材料常数存在以下关系 2 1 E G 例例7 7 3 3 阶梯形直杆受力图如图所示 杆阶梯形直杆受力图如图所示 杆ABAB的横截面积的横截面积A A1 1为为800 800 mmmm2 2 杆 杆BCBC的横截面积的横截面积A A2 2为为200 mm200 mm2 2 杆的弹性模量杆的弹性模量E E 200GPa 200GPa 试求杆的总伸长量 试求杆的总伸长量 1 1 计算轴力 计算轴力 kN20F kN40F BCAB m 101 10810200 4 01040 EA lF l 4 49 3 1 ABAB AB 解 解 当拉 压 杆有两个以上的外力作用时 需要先画出轴力图 然后分段计算各段的变形分段计算各段的变形 各段变形的代数和即为杆的总伸长量 m 1067 1 104 210200 4 01020 EA lF l 4 49 3 2 BCBC BC 求求ACAC杆总伸长杆总伸长 m 1067 0lll 4 BCABAC 由计算结果来看 由计算结果来看 ACAC杆被压缩了杆被压缩了0 67 mm0 67 mm F 40 kN 20 kN 例例7 7 4 4 ABAB长长2m 2m 面积为面积为200mm200mm2 2 ACAC面积为面积为250mm250mm2 2 E E 200GPa 200GPa F F 10kN 10kN 试求节点 试求节点A A的位移 的位移 0 y F kN202sin 1 FFFN 解 解 1 1 计算轴力 设斜杆为 计算轴力 设斜杆为1 1杆 水杆 水 平杆为平杆为2 2杆 取节点杆 取节点A A为研究对象为研究对象 kN32 173cos 12 FFF NN 0Fx 0FcosF 2N1N 0sin 1 FFN A A F 1N F 2N Fx y 2 2 计算杆的变形 计算杆的变形 1mmm101 1020010200 21020 3 69 3 11 11 1 AE lF l N mm6 0m106 0 1025010200 732 11032 17 3 69 3 22 22 2 AE lF l N 斜杆伸长斜杆伸长 水平杆缩短水平杆缩短 1 20kN N F 2 17 32kN N F 3 3 计算节点 计算节点A的位移的位移 A A F F 1N F 2N Fx y 30300 0 A A 1 A 2 A A A 1 A 2 A mm1 11 lAAmm6 0 22 lAAmm6 0 2 l x 12 334 3 039mm sin30tan30 y ll AAA A 2222 0 63 0393 1mm xy AA 3 A 4 A 第三节第三节 拉 压 杆超静定问题拉 压 杆超静定问题 一 静定与超静定问题的概念一 静定与超静定问题的概念 3 3 超静定次数超静定次数 未知量数目减去独立平衡方程数目 未知量数目减去独立平衡方程数目 1 1 静定问题静定问题 未知量数目等于独立平衡方程的数目 未知量数目等于独立平衡方程的数目 2 2 超静定问题超静定问题 未知量的数目多于独立平衡方程的数目 未知量的数目多于独立平衡方程的数目 4 4 多余约束多余约束 超过静定结构所需的约束 超过静定结构所需的约束 静定静定 一次超静定一次超静定 二次超静定二次超静定 一次超静定一次超静定 F F 判别下列结构是否静定 指出超静定结构的超静定次数 判别下列结构是否静定 指出超静定结构的超静定次数 一次超静定一次超静定 二 超静定结构的求解方法 二 超静定结构的求解方法 1 1 列出独立的平衡方程 列出独立的平衡方程 2 2 找 找变形几何关系变形几何关系 3 3 物理关系物理关系 4 4 求解方程组 求解方程组 建立补充方程建立补充方程 1 1 列出独立的平衡方程 列出独立的平衡方程 例题例题7 7 5 5 21 0 NNx FFF 0cos20 31 FFFF NNy 解 解 EA lF l N3 3 补充方程补充方程 3 3 cos21 F FN 3 3 物理关系 物理关系 cos 1 1 EA lF l N cos cos 31 EA lF EA lF NN 2 31 cos NN FF 4 4 求解方组得 求解方组得 3 2 21 cos21 cos F FF NN 1 l 2 l 3 l cos 321 lll 2 2 找变形几何关系 找变形几何关系 例例7 7 6 6 图示杆系结构中 AB杆为刚性杆 杆的抗拉刚度 为EA 已知载荷F的大小 试求 杆的轴力