2000-2005年全国高中数学联合竞赛解析几何试题分类汇编一、选择题1（00，3）已知点A为双曲线的左顶点，点B和点C在双曲线的右支上，是等边三角形，则的面积是（A） （B） （C） （D）2（00，5）平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线的距离中的最小值是（A） （B） （C） （D）3（02，2）若实数x, y满足(x + 5)2+(y 12)2=142，则x2+y2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) (D) 4（02，4）直线椭圆相交于A，B两点，该圆上点P，使得PAB面积等于3，这样的点P共有(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个5（03，2）设a，bR，ab0，那么直线axyb0和曲线bx2ay2ab的图形是 yyyyxxxx A B C D 6（03，3）过抛物线y28(x2)的焦点F作倾斜角为60o的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于A B CD7（05，5）方程表示的曲线是A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在x轴上的双曲线C. 焦点在y轴上的椭圆D. 焦点在y轴上的双曲线二、填空题8（00，10）在椭圆中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B。若该椭圆的离心率是，则= 。9(01，7)椭圆的短轴长等于 。10（03，8）设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1| : |PF2|2 : 1，则三角形PF1F2的面积等于_11（04，12）在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标为_。12（05，11）若正方形ABCD的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为 .三、解答题13 （00，15）已知：和：。试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对任意一点P，均存在以P为顶点、与外切、与内接的平行四边形？并证明你的结论。14 (01，14) 设曲线C1:(a为正常数)与C2:y2=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。（1）实数m的取值范围（用a表示）；（2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0a时，试求OAP的面积的最大值（用a表示）。15 （02，13）已知点和抛物线上两点使得，求点的纵坐标的取值范围16 （03，15）一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OAa. 拆叠纸片，使圆周上某一点A/ 刚好与A点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合17（04，14）在平面直角坐标系xoy中，给定三点，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。（）求点P的轨迹方程；（）若直线L经过的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。18过抛物线上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交轴于D，交轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足;点F在线段BC上，满足，且，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.解析几何试题分类汇编（00 05）1.C 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.90 9.10.设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a、2b、2c，则由其方程知a3，b2，c，故，|PF1|PF2|2a6，又已知PF1|：|PF2|2：1，故可得|PFl|4，|PF2|2在PFlF2中，三边之长分别为2，4，2，而2242(2)2，可见PFlF2是直角三角形，且两直角边的长为2和4，故PFlF2的面积411. 解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3x上，设圆心为S（a，3a），则圆S的方程为：对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足解得 a=1或a=7。即对应的切点分别为，而过点M，N，的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。12.解：设正方形的边AB在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为、，则CD所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立，得令正方形边长为则在上任取一点（6，,5），它到直线的距离为.、联立解得或13.利用极坐标解决：以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为-（1）显知此平行四边形ABCD必为菱形，设A，则B代入（1）式相加：由于该菱形必与单位圆相切，故原点到AB的距离为1，从而，14. 解：(1)由 消去y得： 设，问题(1)化为方程在x(a，a)上有唯一解或等根 只需讨论以下三种情况： 10得：，此时xpa2，当且仅当aa2a，即0a1时适合； 2f (a)f (a)0，当且仅当ama； 3f (a)0得ma，此时xpa2a2，当且仅当aa2a2a，即0a1时适合 f (a)0得ma，此时xpa2a2，由于a2a2a，从而ma 综上可知，当0a1时，或ama； 当a1时，ama 10分(2)OAP的面积 0a，故ama时，0a， 由唯一性得 显然当ma时，xp取值最小由于xp0，从而yp取值最大，此时， 当时，xpa2，yp，此时 下面比较与的大小： 令，得 故当0a时，此时 当时，此时 20分15.解：设点坐标为，点坐标为显然，故由于，所以从而，消去，注意到得：由解得：或当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，均满足是题意故点的纵坐标的取值范围是或16.解：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则有A(a，0)设折叠时，O上点A/()与点A重合，而折痕为直线MN，则 MN为线段AA/的中垂线设P(x，y)为MN上任一点，则PA/PA5分即10分 可得：1(此不等式也可直接由柯西不等式得到)15分平方后可化为1，即所求点的集合为椭圆圆1外(含边界)的部分20分17. 解：（）直线AB、AC、BC的方程依次为。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设，即，化简得点P的轨迹方程为圆S：.5分（）由前知，点P的轨迹包含两部分圆S： 与双曲线T：因为B（1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。.10分（ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为。代入方程得，解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。.15分情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得该方程有唯一实数解的充要条件是或解方程得，解方程得。综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集。.20分18.解一：过抛物线上点A的切线斜率为：切线AB的方程为的坐标为是线段AB的中点. 5分设、，则由知，得EF所在直线方程为：化简得10分当时，直线CD的方程为：联立、解得，消去，得P点轨迹方程为：15分当时，EF方程为：方程为：，联立解得也在P点轨迹上.因C与A不能重合，所求轨迹方程为20分解二：由解一知，AB的方程为故D是AB的中点. 5分令则因为CD为的中线，而是的重心. 10分设因点C异于A，则故重心P的坐标为消去得故所求轨迹方程为20分用心 爱心 专心 115号编辑 10