19 1函数19 1 1变量与函数 第一课时 第二课时 人教版数学八年级下册 常量与变量 第一课时 返回 行星在宇宙中的位置随时间而变化 万物皆变 气温随海拔而变化 汽车行驶里程随行驶时间而变化 为了更深刻地认识千变万化的世界 在这一章里 我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识 共同见证事物变化的规律 1 了解变量与常量的意义 2 体会运动变化过程中的数量变化 素养目标 1 汽车以60km h的速度匀速行驶 行驶路程为skm 行驶时间为th 填写下表 s的值随t的值的变化而变化吗 1 请同学们根据题意填写上表 2 在以上这个过程中 变化的量是 不变化的量是 3 试用含t的式子表示s是 时间t 路程s 速度 s 60t 120 60 180 240 300 常量与变量 2 每张电影票的售价为10元 如果第一场售出150张票 第二场售出205张票 第三场售出310张票 1 第一场电影的票房收入 元 第二场电影的票房收入 元 第三场电影的票房收入 元 2 在以上这个过程中 变化的量是 不变化的量是 3 设一场电影售出票x张 票房收入为y元 怎样用含x的式子表示y 4 y的值随x的值的变化而变化吗 1500 2050 3100 售出票数x 票房收入y 票价10元 张 y 10 x y的值随x的值的变化而变化 3 你见过水中涟漪吗 圆形水波慢慢地扩大 在这一过程中 当圆的半径分别为10cm 20cm 30cm时 圆的面积S分别为多少 S的值随r的值的变化而变化吗 当圆的半径为10cm时 面积为S 100 cm2 当圆的半径为20cm时 面积为S 400 cm2 当圆的半径为30cm时 面积为S 900 cm2 圆面积S与圆的半径r之间的关系式是 其中变化的量是 不变化的量是 S r 这个问题反映了 随 的变化过程 圆的面积S 半径r 4 用10m长的绳子围一个矩形 当矩形的一边长x分别为3m 3 5m 4m 4 5m时 它的邻边长y分别为多少 y的值随x的值的变化而变化吗 当x为3m时 y为2m 当x为3 5m时 y为1 5m 当x为4m时 y为1m 当x为4 5m时 y为0 5m y的值随x的值的变化而变化 矩形的周长10m与它的边长x y之间的关系式是 其中变化的量是 不变化的量是 2 x y 10 x y 10 数值发生变化的量 变量 数值始终不变的量 常量 上述运动变化过程中出现的数量 你认为可以怎样分类 s 60t y 10 x 变量 在一个变化过程中 数值发生变化的量为变量 常量 在一个变化过程中 数值始终不变的量为常量 2 x y 10 S r2 提示 在同一个变化过程中 理解变量与常量的关键词 发生了变化和始终不变 例1某人要在规定的时间内加工100个零件 则工作量W与时间t之间的关系中 下列说法正确的是 A 数100和W t都是变量B 数100和W都是常量C W和t是变量D 数100和t都是常量 C C 实际问题中常量与变量的识别 1 一个长方形的面积是10cm2 其长是acm 宽是bcm 下列判断错误的是 A 10是常量B 10是变量C b是变量D a是变量2 林老师发现每个加油器上都有三个量 其中一个表示 元 升 其数值是固定不变的 另外两个量分别表示 数量 金额 数值一直在变化 在这三个量当中 是常量 是变量 B B 元 升 数量 金额 例2指出下列关系式中的变量与常量 1 y 3x 4 2 y x 3 y x2 2x 8 4 S r2 解 1 3和 4是常量 x和y是变量 2 1是常量 x y是变量 3 1 2 8是常量 x y是变量 4 是常量 s r是变量 关系式中常量与变量的识别 八年级数学 3 指出下列关系式中的变量与常量 1 y 5x 6 2 3 y 4x2 5x 7 4 C 2 r 解 1 5和 6是常量 x和y是变量 2 6是常量 x y是变量 3 4 5 7是常量 x y是变量 4 2 是常量 C r是变量 怎样用含重物质量m kg 的式子表示受力后的弹簧长度l cm 例3弹簧的长度与所挂重物有关 如果弹簧原长为10cm 每1kg重物使弹簧伸长0 5cm 试填下表 解 由题意可知m每增加1 l增加0 5 所以l 10 0 5m 10 5 11 11 5 12 12 5 确定两个量之间的关系式 4 写出下列各问题中的关系式 1 n n 2 边形的内角和的度数s与边数n的关系式 2 等腰三角形的顶角度数y与底角度数x的关系式 s 180 n 2 y 180 2x 2018 安徽 据省统计局发布 2017年我省有效发明专利数比2016年增长22 1 假定2018年的年增长率保持不变 2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件 则 A b 1 22 1 2 aB b 1 22 1 2aC b 1 22 1 2aD b 22 1 2a 巩固练习 B 1 某人持续以a米 分的速度用t分钟时间跑了s米 其中常量是 变量是 2 s米的路程 不同的人以不同的速度a米 分各需跑的时间为t分 其中常量是 变量是 3 根据上面的叙述 写出一句关于常量与变量的结论 在不同的条件下 常量与变量是相对的 a t s s a t 5 如图2 正方体的棱长为a 表面积S 体积V C 4x 6a2 a3 4 如图1 正方形的周长C与边长x的关系式为 变量是 常量是 C x 4 表格列出了一项实验的统计数据 表示小球从高度x 单位 m 落下时弹跳高度y 单位 m 与下落高度x的关系 据表可以写出的一个关系式是 y 0 5x 瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放 试确定瓶子总数y与层数x之间的关系式 1 1 2 1 2 3 1 2 3 n 完成上表 并写出瓶子总数y与层数x之间的关系式 x 常量与变量 常量与变量的概念 列出变量之间的关系式 常量 数值始终不变的量 变量 数值发生变化的量 函数和函数值 第二课时 返回 运动会开幕式上 火炬手以3米 秒的速度跑步前进传递火炬 传递路程为s米 传递时间为t秒 怎样用含t的式子表示s 2 确定函数中自变量的取值范围 注意问题的实际意义 1 理解函数的概念 能准确识别出函数关系中的自变量和函数 素养目标 问题1 全运会火炬手以3米 秒的速度跑步前进传递火炬 传递路程为s米 传递时间为t秒 填写下表 怎样用含t的式子表示s 随着的变化而变化 当确定一个值时 就随之确定一个值 s 3t 传递路程s 传递时间t 传递时间t 传递路程s 思考 1 每个问题中有几个变量 2 同一个问题中的变量之间有什么联系 函数的有关概念 3 6 9 12 问题2 用10m长的绳子围成长方形 若改变长方形的长度 长方形的面积会怎样变化 设长方形的面积为S m2 一边长为x 怎样用含x的式子表示长方形的面积S 4 1 2 2 5 3 6 6 25 6 5 x S x 5 x 讨论 上面的两个问题中 各变量之间有什么共同特点 共同特点 都有两个变量 给定其中某一个变量的值 相应地就确定了另一个变量的值 一般地 在某个变化过程中 如果有两个变量x与y 并且对于x的每一个确定的值 y都有唯一确定的值与它对应 那么我们就说x是自变量 y是x的函数 如果当x a时y b 那么b叫做当自变量的值为a时的函数值 1 下列式子中的y是x的函数吗 为什么 若y不是x的函数 怎样改变 才能使y是x的函数 解 1 2 中y是x的函数 因为对于x的每一个确定的值 y都有唯一确定的值与其对应 3 中 y不是x的函数 因为对于x的每一个确定的值 y都有两个确定的值与其对应 将关系式改为或 都能使y是x的函数 例1下列关于变量x y的关系式 y 2x 3 y x2 3 y 2 x y2 3x 10 其中表示y是x的函数关系的是 提示 判断一个变量是否是另一个变量的函数 关键是看当一个变量确定时 另一个变量是否有唯一确定的值与它对应 利用函数的定义判断函数 2 变量x与y的对应关系如下表所示 问 变量y是x的函数吗 为什么 若要使y是x的函数 可以怎样改动表格 解 y不是x的函数 因为对于x的每一个确定的值 y都有两个确定的值与其对应 要使y是x的函数 可以将表格中y的每一个值中的 改为 或 例2已知函数 1 求当x 2 3 3时 函数的值 2 求当x取什么值时 函数的值为0 把自变量x的值代入关系式中 即可求出函数的值 解 1 当x 2时 求函数的值 当x 3时 当x 3时 y 7 2 令解得 即当时 y 0 3 已知函数 1 当x 3时 求函数y的值 2 当y 2时 求自变量x的值 解 1 当x 3时 2 当y 2时 可得到 则4 36 2x2 即x2 16 解得x 4 请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系 1 汽车以70km h的速度匀速行驶 行驶的时间为t 单位 h 行驶的路程为s 单位 km 2 多边形的边数为n 内角和的度数为y 确定自变量的取值范围 思考 问题 1 中 t取 2有实际意义吗 问题 2 中 n取2有意义吗 s 70t y 180 n 2 在实际问题中 函数的自变量取值范围往往是有限制的 在限制的范围内 函数才有实际意义 超出这个范围 函数没有实际意义 我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围 根据刚才的思考问题 你认为函数的自变量可以取任意值吗 例3汽车的油箱中有汽油50L 如果不再加油 那么油箱中的油量y 单位 L 随行驶里程x 单位 km 的增加而减少 平均耗油量为0 1L km 1 写出表示y与x的函数关系的式子 解 1 函数关系式为 y 50 0 1x 0 1x表示的意义是什么 叫做函数的解析式 确定自变量的取值范围 2 指出自变量x的取值范围 2 由x 0及50 0 1x 0得0 x 500 自变量的取值范围是0 x 500 提示 确定自变量的取值范围时 不仅要考虑使函数解析式有意义 而且还要注意各变量所代表的实际意义 解 3 汽车行驶200km时 油箱中还有多少油 3 当x 200时 函数y的值为y 50 0 1 200 30 因此 当汽车行驶200km时 油箱中还有油30L 解 y 2x 15 x 1且为整数 x 1 5 函数中 自变量x的取值范围是 4 某中学的校办工厂现在年产值是15万元 计划今后每年增加2万元 年产值y 万元 与年数x的函数关系式是 其中自变量的取值范围是 1 2019 内江 在函数中 自变量x的取值范围是 A x 4B x 4且x 3C x 4D x 4且x 3 巩固练习 D 巩固练习 D 2 2019 柳州 已知A B两地相距3千米 小黄从A地到B地 平均速度为4千米 小时 若用x表示行走的时间 小时 y表示余下的路程 千米 则y关于x的函数解析式是 A y 4x x 0 B y 4x 3 C y 3 4x x 0 D y 3 4x 1 下列说法中 不正确的是 A 函数不是数 而是一种关系B 多边形的内角和是边数的函数C 一天中时间是温度的函数D 一天中温度是时间的函数 2 下列各表达式不是表示y是x的函数的是 A B C D C C 3 下列函数中自变量x的取值范围是什么 1 2 3 4 解 4 x 2 所以x 2且x 1 4 填表并回答问题 1 对于x的每一个值 y都有唯一的值与之对应吗 答 2 y是x的函数吗 为什么 2和 2 8和 8 18和 18 32和 32 不是 答 不是 因为y的值不是唯一的 下列问题中 一个变量是否是另一个变量的函数 如果是 请指出自变量 1 改变正方形的边长x 正方形的面积S随之变化 2 秀水村的耕地面积是106m2 这个村人均占有耕地面积y 单位 m2 随这个村人数n的变化而变化 3 P是数轴上的一个动点 它到原点的距离记为x 它对应的实数为y y随x的变化而变化 解 1 S是x的函数 其中x是自变量 2 y是n的函数 其中n是自变量 3 y不是x的函数 我市白天乘坐出租车收费标准如下 乘坐里程不超过3公里 一律收费8元 超过3公里时 超过3公里的部分 每公里加收1 8元 设乘坐出租车的里程为x