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2006年高考创新试题分类例析一、集合中的创新试题例1(2006年湖北卷)有限集合中元素个数记作card,设、都为有限集合,给出下列命题: 的充要条件是card= card+ card; 的必要条件是cardcard; 的充分条件是cardcard; 的充要条件是cardcard.其中真命题的序号是 (B ) A. 、 B. 、 C. 、 D. 、解选B。选由card= card+ card+ card知card= card+ cardcard=0。由的定义知cardcard。例2(2006年辽宁卷)设是R上的一个运算,A是R的非空子集,若对任意有,则称A对运算封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集【解析】A中121不是自然数,即自然数集不满足条件;B中120.5不是整数,即整数集不满足条件;C中有理数集满足条件;D中不是无理数,即无理数集不满足条件,故选择答案C。【点评】本题考查了阅读和理解能力,同时考查了做选择题的一般技巧排除法。例3(2006年四川卷)非空集合关于运算满足:(1)对任意,都有; (2)存在,使得对一切,都有,则称关于运算为“融洽集”;现给出下列集合和运算: 其中关于运算为“融洽集”_,_;(写出所有“融洽集”的序号)分析:对于对任意,都有;存在使得对一切,都有。对于,对任意,都有;但不存在,使得对一切,都有。对于,对任意,都有;且存在单位向量,使得对一切,都有。对于,对任意,不一定有,如果两个二次三项式的二次项前的系数互为相反数,则相加后就不是二次三项式了。对于,对任意,都有;两共轭复数相乘的积不是虚数。故填_,。例4 (2006年辽宁卷)设是R上的一个运算,A是R的非空子集,若对任意有,则称A对运算封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集【解析】A中121不是自然数,即自然数集不满足条件;B中120.5不是整数,即整数集不满足条件;C中有理数集满足条件;D中不是无理数,即无理数集不满足条件,故选择答案C。【点评】本题考查了阅读和理解能力,同时考查了做选择题的一般技巧排除法。例5(山东卷)定义集合运算:AB=zz= xy(x+y),zA,yB,设集合A=0,1,B=2,3,则集合AB的所有元素之和为(A)0 (B)6 (C)12 (D)18解:当x0时,z0,当x1,y2时,z6,当x1,y3时,z12,故所有元素之和为18,选D二、映射与函数中的创新试题例6(广东卷)对于任意的两个实数对和,规定:,当且仅当;运算“”为:;运算“”为:,设,若,则A. B. C. D. 解析:由得,所以,故选B.例7(2006年陕西卷)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知加密规则为:明文对应密文例如,明文对应密文当接收方收到密文时,则解密得到的明文为(C)(A)(B)(C)(D)分析:本题考查阅读和理解能力,加密规则为:明文对应密文事实上就是一个映射的概念。明文对应密文事实上就是对加密规则的一次应用。设明文为,则解之得,选取C。例6( 2006年重庆卷)如图所示,单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的倍,则函数y=f(x)的图象是 ( D ) 题()图 分析:随着自变量x的匀速增加,首先阴影部分的面积增加得越来越快,当阴影超过圆心时,阴影部分的面积增加得越来越慢,利用函数图象的上凸下凹性易估选答案D。例82006年湖北卷)关于的方程,给出下列四个命题: 存在实数,使得方程恰有2个不同的实根; 存在实数,使得方程恰有4个不同的实根; 存在实数,使得方程恰有5个不同的实根; 存在实数,使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是 (B)A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解选B。本题考查换元法及方程根的讨论,要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力;据题意可令,则方程化为,作出函数的图象,结合函数的图象可知:(1)当t=0或t1时方程有2个不等的根;(2)当0t1时方程有4个根;(3)当t=1时,方程有3个根。故当t=0时,代入方程,解得k=0此时方程有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根;当方程有两个不等正根时,即此时方程有两根且均小于1大于0,故相应的满足方程的解有8个,即原方程的解有8个;当时,方程有两个相等正根t,相应的原方程的解有4个;故选B。例9(2006年广东卷)A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合:对任意,都有 ; 存在常数,使得对任意的,都有()设,证明:()设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;()设,任取,令证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式解:对任意,所以对任意的,所以0AB.其中真命题的个数为(B)A.0 B.1 C.2 D.3【解析】对于直角坐标平面内的任意两点,定义它们之间的一种“距离”:若点C在线段AB上,设C点坐标为(x0,y0),x0在x1、x2之间,y0在y1、y2之间,则=在中,= 命题 成立,而命题在中,若则明显不成立,选B.例14(2006年全国卷I)用长度分别为2、3、4、5、6(单位:)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为A B C D分析:我们普遍了解这样一个事实:在周长一定的n边形中,正n边形面积最大。或许这个东西有点超纲,但是请原谅,我一时半会想不出用教材上的办法来解决此题。当n = 3时,这个普遍了解的事实可以用椭圆的知识这样来感性地解释:设三角形ABC的周长l为定值,角A、B、C分别对应三边a、b、c。先固定B、C两点,则b + c 是定值,这意味这点A在B、C为焦点的椭圆上(去除俩长轴端点),当A为椭圆的短轴端点时,A到线段BC的距离最远,此时ABC为等腰三角形,满足b = c。 假若,我们再固定A、C两点,再次调整点B的位置。由 我们知道,时,ABC面积最大。所以:,即(a,b)。或者换句话说,在数轴上,点对应的点被a、b分别对应的两个点“夹逼”着。无论是用代数语言还是几何语言,我们都能得到结论:再次调整后。只要类似于、 的调整我们可以一直进行,每进行一次,三角形的三边就“接近一次”,直到三边长最接近。最接近的情况当然是正三角形。(以上只是感性理解,并不代表证明。)按照我们所普遍了解的事实,调整3个边尽可能的相等:7,7,6此时三角形面积为:。选B。例15(2006年辽宁卷)曲线与曲线的(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同【解析】由知该方程表示焦点在x轴上的椭圆,由知该方程表示焦点在y轴上的双曲线,故只能选择答案A。【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义,同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响。五、立体几何中的创新试题ABCDA1B1C1D1第16题图A1例16(2006年安徽卷)多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点A在平面内,其余顶点在的同侧,正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1,2和4,P是正方体的其余四个顶点中的一个,则P到平面的距离可能是:3; 4; 5; 6; 7以上结论正确的为_。(写出所有正确结论的编号)解:如图,B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4,则D、A1的中点到平面的距离为3,所以D1到平面的距离为6;B、A1的中点到平面的距离为,所以B1到平面的距离为5;则D、B的中点到平面的距离为,所以C到平面的距离为3;C、A1的中点到平面的距离为,所以C1到平面的距离为7;而P为C、C1、B1、D1中的一点,所以选。ADCB例17(2006年江苏卷)两相同的正四棱锥组成如图1所示
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