第5讲复 数【2013年高考会这样考】复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算，难度较小【复习指导】1复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义2要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等因考题较容易，所以重在练基础基础梳理1复数的有关概念(1)复数的概念形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数，若b0，则abi为虚数，若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac；bd(a，b，c，dR)(4)复数的模向量的模r叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|.2复数的四则运算设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则(1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(3)乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；(4)除法：(cdi0)一条规律任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小两条性质(1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，inin1in2in30(各式中nN)(2)(1i)22i，i，i.双基自测1(人教A版教材习题改编)复数(i是虚数单位)的实部是()A. B Ci D解析i.答案D2(2011天津)设i是虚数单位，复数()A2i B2i C12i D12i解析(13i)(1i)(42i)2i.答案A3(2011湖南)若a，bR，i为虚数单位，且(ai)ibi，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1解析由(ai)ibi，得：1aibi，根据复数相等得：a1，b1.答案C4(2011广东)设复数z满足(1i)z2，其中i为虚数单位，则z()A22i B22i C1i D1i解析z1i.答案C5i2(1i)的实部是_解析i2(1i)1i.答案1考向一复数的有关概念【例1】(2011安徽)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为()A2 B2 C D.审题视点 利用纯虚数的概念可求解析i，由纯虚数的概念知：0，0，a2.答案A 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程即可【训练1】 已知aR，复数z12ai，z212i，若为纯虚数，则复数的虚部为_解析i，为纯虚数，0，0，a1.故的虚部为1.答案1考向二复数的几何意义【例2】在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A48i B82i C24i D4i审题视点 利用中点坐标公式可求解析复数65i对应的点为A(6,5)，复数23i对应的点为B(2,3)利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4)，故点C对应的复数为24i.答案C 复数的几何意义可以让我们运用数形结合思想把复数、向量、解析几何有机的结合在一起，能够更加灵活的解决问题高考中对复数几何意义的考查主要集中在复数对应点的位置、加减法的几何意义、模的意义等【训练2】 (2011徐州一检)复数i2 012对应的点位于复平面内的第_象限解析i2 012i1.故对应的点(1,1)位于复平面内第一象限答案一考向三复数的运算【例3】(2011上海)已知复数z1满足(z12)(1i)1i，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.审题视点 利用复数的乘除运算求z1，再设z2a2i(aR)，利用z1z2是实数，求a.解由(z12)(1i)1i，得z12i，z12i.设z2a2i(aR)，z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1z2R.a4.z242i. 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式【训练3】 (2011湖北)i为虚数单位，则2011()Ai B1 Ci D1解析因为i，所以原式i2011i45023i3i.答案A难点突破27复数的几何意义问题复数的几何意义是复数中的难点，化解难点的关键是对复数的几何意义的正确理解对于复数的几何意义的理解可以从以下两个方面着手：(1)复数zabi(a，bR)的模|z|，实际上就是指复平面上的点Z到原点O的距离；|z1z2|的几何意义是复平面上的点Z1、Z2两点间的距离(2)复数z、复平面上的点Z及向量 相互联系，即zabi(a，bR)Z(a，b).【示例1】 (2011山东)复数z(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【示例2】 (2010全国新课标)已知复数z，则|z|()A. B. C1 D25