2006年北京市宣武区第一次质量检测高三数学理科试卷(宣武区一模试卷)一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。 1. 设全集I是实数集R，与都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D. 2. 已知函数，那么的值等于（ ）A. B. C. 0D. 3. 若直线按向量平移后与圆相切，则实数m的值等于（ ）A. 8或B. 10或0C. 或2D. 或0 4. 函数，对于任意的，都有，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 5. 已知是直线上的一点，是直线外的一点，由方程表示的直线与直线的位置关系是（ ）A. 互相重合B. 互相平行C. 互相垂直D. 互相斜交 6. 已知夹角为，则以为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）A. 15B. C. 14D. 16 7. 如图，正四面体ABCD中，点E在棱AB上，点F在棱CD上，使得，设与分别表示EF与AC、BD所成的角，则（ ）A. 是（）上的增函数B. 是（）上的减函数C. 在（0，1）上递增，在（）上递减D. 是（）上的常数函数 8. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当时，；当时，。则函数的最大值等于（ ）（“”和“”仍为通常的乘法和减法）A. B. 1C. 6D. 12二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案写在题中的横线上。 9. 已知复数，且z满足，则实数t的值为_。 10. 已知的展开式中不含x的项是，则p的值是_。 11. ABC中，若，则的值为_。 12. 点P是抛物线上一动点，则点P到点（0，）的距离与点P到直线的距离和的最小值是_。 13. 用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”（即图中A、B所示区域）用相同颜色，则不同的涂法共有_种。（用数字作答） 14. 编辑一个运算程序：，则的输出结果为_。三. 解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （本小题满分12分）已知。（I）求的值；（II）求的值。 16. （本小题满分13分）这份模拟题出了8道选择题，每题5分，每道题有四个可供选择的答案，一个是正确的，三个是错误的，小伟只知道其中6道题的正确答案，其余两道题完全靠猜测回答。（I）求小伟选择题正确答案不少于7个的概率；（II）设小伟选择题得分为，求的概率分布及。 17. （本小题满分14分）下面的一组图形为某一四棱锥SABCD的侧面与底面。（I）请画出四棱锥SABCD的示意图，是否存在一条侧棱SA垂直于底面ABCD？如果存在，请给出证明；（II）若E为AB中点，求证：平面SEC平面SCD；（III）求二面角BSCD的大小。 18. （本小题满分13分）飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为A，B，C），B在A的正东方向，相距6km，C在B的北偏东30，相距4km，P为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s。（I）求A、C两个救援中心的距离；（II）求在A处发现P的方向角；（III）若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B收到信号的时间差变大还是变小，说明理由。 19. （本小题满分14分）设不等式组所表示的平面区域为，记内的整点个数为 。（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）（I）求数列的通项公式；（II）记数列的前n项和为，且，若对于一切的正整数n，总有，求实数m的取值范围。 20. （本小题满分14分）已知函数的定义域为I，导数满足且，常数为方程的实数根，常数为方程的实数根。（I）若对任意，存在，使等式成立。求证：方程不存在异于的实数根；（II）求证：当时，总有成立；（III）对任意，若满足，求证：参考答案一. 1. A2. C3. D4. D 5. B6. A7. D8. C二. 9. 10. 11. 12. 13. 21614. 2007三. 15. 解：（I）6分（II）12分 16. 解：（I）“小伟选择题正确答案不少于7个”等价于“2道猜测的答案中正确答案至少有1个”，所求事件的概率为，或6分（II）可能取值分别为30，35，40的概率分布为13分 17. 解法一：（I）存在一条侧棱SA面ABCD，如图所示。在SAB中，SAAB，在SAD中，SAAD又，SA面ABCD4分（II）取SD中点F，SC的中点G，连结AF、FG、EGSA面ABCD，SACD又CDAD且SAADACD面SADCDAFRtSAD中，SAAD，AFSD又CDSDD，AF面SCD四边形AEGF为平行四边形EGAFEG面SCD又面SEC，平面SEC平面SCD9分（III）过D作DHSC于H，连结HB、BDSBHSDHBHSDHS90BHSCBHD为二面角BSCD的平面角RtSDC中，BHD中， BHD120二面角BSCD的大小为12014分解法二：（I）同解法一4分（II）以A为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz。取SC中点G，连结EG，SE，EC，则A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），S（0，0，a），又面SDC面SEC平面SEC平面SDC9分（III）由（II）得平面SDC的一个法向量为，设平面SBC的法向量为由可得：且，设则，结合图形知二面角BSCD的大小为12014分 18. 解：（I）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则则即A、C两个救援中心的距离为4分（II），所以P在BC线段的垂直平分线上又，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且双曲线方程为BC的垂直平分线的方程为联立两方程解得：PAB120所以P点在A点的北偏西30处9分 （III）如图，设又即A、B收到信号的时间差变小13分 19. 解：（I）由，得或内的整点在直线和上，记直线为l，l与直线的交点的纵坐标分别为，则7分（II）当时，且是数列中的最大项，故14分 20. 证明：（I）假设方程有异于的实根m，即则有成立因为，所以必有，但这与矛盾，因此方程不存在异于的实数根。4分（II）令函数为减函数又当时，即成立8分（III）不妨设为增函数，即又，函数为减函数，即即14分用心 爱心 专心 116号编辑 11