高中数学 40 题 第 1 页 共 26 页 2007 年南通市高三数学考前 40 题 一 选择题 1 已知奇函数的定义域为 且对任意正实数 恒有 xf 0 0 2121 xxxx 则一定有 D 0 21 21 xx xfxf A B 3 1 2 cos600 log2 ff 3 1 2 cos600 log2 ff C D 3 1 2 cos600 log2 ff 3 1 2 cos600 log2 ff 说明 本题考查抽象函数的奇偶性 单调性的综合应用及三角函数的诱导公式与对数运算 2 若 f n 为 n2 1 n N 的各位数字之和 如 142 1 197 1 9 7 17 则 f 14 17 记 f1 n f n f2 n f f1 n fk 1 n f fk n k N 则 f2008 8 A A 11 B 8 C 6 D 5 说明 本题考查周期数列及学生的阅读理解能力 3 在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数 也称高斯函数 它表示的整数部分 xx 即 是不超过的最大整数 例如 设函数 xx 2 2 3 1 3 2 6 3 21 122 x x f x 则函数的值域为 yf xfx A B C D 0 1 0 1 0 1 2 0 4 已知数列是首项为 公差为的等差数列 若数列是等比数列 n a 1 a 02 dd cos n a 则其公比为 A1 B1 C1 D2 分析 本题考查三角函数的图象与性质 等差数列与等比数列的概念等基本知识 答案 提示 利用余弦曲线可得 B 1 cos 1 n a 5 一条螺旋线是用以下方法画成 是边长为 1 的正三角形 曲线分别以ABC 11223 CAA AA A 为圆心 为半径画的弧 曲线称为ABC 12 ACBACA 123 CA A A 螺旋线 然后又以为圆心 为半径画弧 这样画到第圈 A 3 AA n 高中数学 40 题 第 2 页 共 26 页 则所得螺旋线的总长度为 112233231313 nnnn CA A A A AAAAA n S A B 31 nn 1 3 n n C D 2 31 n 1 n n 分析 第圈的长度分三段 第一段以点为圆心 半径为 第二段以点为圆心 nA32n B 半径为 第三段以点为圆心 半径为 所以第圈的长度31n C3nn 所以 2 3231 3 3 n lnnn 2 1233 3 n Sn 答案 A 说明 培养学生的阅读能力 6 已知 O 是平面上一定点 A B C 是平面上不共线的三个点 动点 P 满足 则 P 点的轨迹一定通过的 0 sinsin ABAC OPOA ABBACC ll uu u ruuu r uu u ruur uu u ruuu rABC 重心 B 垂心 C 内心 D 外心 解 因为故可设 则sinsin ABBACC uu u ruuu r sinsinABBACCm uu u ruuu r sinsin ABAC OPOAOAABAC ABBACC l l m uu u ruuu r uu u ruuruuruu u ruuu r uu u ruuu r 0 l m 所以 其中 为 边的中点 所以 三点共线 AMACABAP 故点的轨迹经过的重心 说明 考查向量知识 正弦定理 三角形知识 7 从颜色不同的 5 个球中任取 4 个球放入 3 个不同的盒子中 要求每个盒子不空 则不同的放法 总数为 A 120 B 90 C 180 D 360 分析 这是一道分组分配的排列组合问题 解 180 3 3 2 4 4 5 ACC 将 4 个球放入 3 个盒子中易产生错误 而不易考虑到捆绑法 1 3 3 3 CA 说明 学生往往先取一个球然后排列出现重复的错误 8 以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形 从中随机地取出两个三角形 则这两个三角形不共 高中数学 40 题 第 3 页 共 26 页 面的概率为 A B C D 367 385 376 385 192 385 18 385 解析 此问题可以分解成五个小问题 由正方体的八个顶点可以组成个三角形 3 8 56c 正方体八个顶点中四点共面有 12 个平面 在上述 12 个平面中每个四边形中共面的三角形有个 2 4 4c 从 56 个三角形中任取两个三角形共面的概率 2 4 3 56 1218 358 c p c 从 56 个三角形中任取两个三角形不共面的概率 利用对立事件的概率的公式 得 故选 A 18367 1 385385 P 9 设 是方程的两个不相等的实数根 那么过点和点 ab 2 cotcos0 xx 2 A a a 2 B b b 的直线与圆的位置关系是 22 1xy A 相交 B 相切 C 相离 D 随的值变化而变化 分析 抓住原点到该直线 AB 的距离与半径 1 的大小 略解 由韦达定理得直线的斜率 cot cos ab ab ABcotkab 直线的方程是 即 从而原点到该直线的距离是AB 2 cot yaxa cotcosyx 2 cos 1 sin2 1 2 1cot d 故直线与圆相交 选 A AB 22 1xy 说明 考查三角公式 韦达定理 直线与圆的位置关系的综合 10 已知双曲线的右焦点为 F 右准线为 l 一直线交双曲线于 P Q 两 22 22 1 0 0 xy ab ab 点 交 l 于 R 点 则 B A PFRQFR PFRQFR C D 的大小不确定PFRQFR PFR 与Q FR 高中数学 40 题 第 4 页 共 26 页 解析 分别作 由相似三角形的性质 得 又由双曲线的定 ppl QQl pRPP QRQQ 义 故 FR 平分 故选 B PPPF QQQF PFQ 二 填空题 11 已知函数 直线与 的图像分别交于 sinf xx sin 2 g xx xm f x g xM 两点 则的最大值是 N MN 分析 方法 1 求 f x g x 的最大值 方法 2 利用正弦函数与余弦函数的图象 略解 max 2MN 说明 考查三角函数的图象与性质 变题 已知函数 直线 sinf xx sin 2 g xx y m 与 的图像分别交于 两点 则的最大值是 f x g xMN MN 12 一个三位数称为 凹数 如果该三位数同时满足 a b 且 b c 那么所有不同的三位abc 凹数 的个数是 分析 若从 0 1 9 这十个数字中任选三个 则最小的排在中间 其余两个在两边有 2 种排法 若从 0 1 9 这十个数字中任选两个 小的排在中间 首尾数字相同有 3 10 C 种排法 故共有 2 种不同的三位数 2 10 C 3 10 C 2 10 C 解答 285 说明 本题主要考查排列组合问题 考虑问题要全面 要有一定的分析问题 解决问题的能 力 13 在正四面体的一个顶点处 有一只蚂蚁每一次都以的概率从一个顶点爬到另一个顶点 那么 1 3 它爬行了 4 次又回到起点的概率是 答案 7 27 说明 考查学生运用计数原理解决等可能事件的概率问题的能力 14 这是一个计算机程序操作说明 初始值为1 1 0 0 xyzn 高中数学 40 题 第 5 页 共 26 页 1nn 2xx 2yy zzxy 如果 z 7000 则执行语句 否则加语句 继续进行 打印 n z 程序终止 由语句 打印出的数值为 解 8 7682nz 15 已知直线与圆有公共点 且横坐标 纵坐标均为整数 则这样的01 byax50 22 yx 直线共有 解 因为圆上有整数点 1 7 1 7 5 5 5 5 7 1 7 1 1 7 1 7 5 5 5 5 7 1 7 1 由于这 12 个 点任三个点都不共线 所以直线过其中一点或两点即可 又直线不过原点 因而这样的直 线共有 726 2 12 1 12 CC 说明 考查解析几何 整数点 排列组合等知识 注意三点共线特殊情况 16 已知圆 C 过三点 O 0 0 A 3 0 B 0 4 则与圆 C 相切且与坐标轴上截距相等的切 线方程是 答案 或 043 yx 75 2 22 xy 说明 本题考查直线与圆的位置关系 截距的概念及直线方程的分类 17 过椭圆上任意一点 P 作椭圆的右准线的垂线 PH H 为垂足 并延长 PH 到 Q 1 23 22 yx 使得 1 当点 P 在椭圆上运动时 点 Q 的轨迹的离心率的取值范围是 HQPH 解 设点 P 的坐标为 则点 H 为 又设点 Q 为 由 3cos 2sin 3 2sin x y 知 消去参数 得 Q 的轨迹方程HQPH 3 2sin 33cos 0 xy 高中数学 40 题 第 6 页 共 26 页 为 所以其离心率的取值范围是 22 1 1 32 xy 3 1 3 18 从装有个球 其中个白球 1 个黑球 的口袋中取出个球 共1n nm 0 mn m nN 有种取法 在这种取法中 可以分成两类 一类是取出的个球全部为白球 一类是 1 m n C 1 m n C m 取出的个球中白球个 则共有 即有等式 m1m 0110 1111 mmm nnn CCCCCC 成立 试根据上述思想化简下列式子 1 1 mmm nnn CCC 1122mmmkm k nknknkn CCCCCCC 1 kmn k m nN 分析 1 从已知材料中知道 011 111 mmm nnn C CC CC 01122 2222 mmmm nnnn C CC CC CC 从而推广到一般情形 分析 2 根据题中的信息 可以把左边的式子归纳为从个球 n 个白球 k 个黑球 nk 中取出 m 个球 可分为 没有黑球 一个黑球 k 个黑球等类 故有种取 1k m n k C 法 答案 m n k C 说明 回归课本 注重课本公式性质的推导过程 提炼解题方法和数学思想 19 P 是双曲线左支上一点 F1 F2分别是左 右焦点 且焦距为 2c 则 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的内切圆的圆心横坐标为 21F PF 答案 a 说明 考查学生运用解析几何 平面几何的基本概念进行综合判断的能力 20 正方体 中 分别为 的中点 为上的一点 若ABCD 1111 DCBAMN 1 AA 1 BBGBC 则 MGNC 1 NGD1 答案 90 说明 考查学生的空间想象力 空间线线 线面 面面垂直关系及转换能力 三 解答题 21 已知函数 是偶函数 4 log 41 x f xkx k R 求的值 k 高中数学 40 题 第 7 页 共 26 页 证明 对任意实数 函数的图像与直线最多只有一个交点 b yf x 1 2 yxb 设 若函数与的图像有且只有一个公共点 求实数 4 4 log2 3 x g xaa f x g x 的取值范围 a 分析 由于函数由不同类的两部分组成 无法进行运算 故可以考虑从函数的单调性方面进行 等价转化 略解 1 2 k 只要证明函数在定义域上是单调函数即可 4 1 log 41 2 x yf xxx R 原问题等价于方程有且只有一个实数根 14 22 23 xx x aa 令 则方程有且只有一个正根 故20 x t 2 4 1 10 3 atat 不合题意 3 1 4 at 或 若 不合题意 若 3 0 4 a 3 31 42 at 1 3 2 at 一个正根与一个负根 即 1 01 1 a a 综上所述 实数的取值范围是 a 3 1 说明 考查函数的奇偶性 单调性 函数与方程及等价转化的数学思想 22 已知函数 xbbaxxf 22 242 2 1axxg Rba 当时 若在上单调递增 求的取值范围 0 b xf 2a 求满足下列条件的所有实数对 当是整数时 存在 使得是的最 ba a 0 x 0 xf xf 大值 是的最小值 0 xg xg 对满足 的条件的一个实数对 试构造一个定义在 且 ba 2 xxD 上的函数 使当时 当时 Nkkx 22 xh 0 2 x xfxh Dx 取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列 xh 0 x 解 当时