第五节齐次线性方程组 齐次线性方程组 4 2 有非零解的充要条件齐次线性方程组解的性质基础解系解的结构练习题 1 齐次线性方程组 4 2 有非零解的充要条件 或向量形式 定理8以下命题等价 即互为充要条件 1 AX 0 4 2 有非零解 4 秩A n 推论 齐次线性方程组 4 2 只有零解 证明由矩阵 向量的运算 于是 以上4个命题相互等价 2 3 4 3 2 1 线性相关定义 得 1 推 2 2 齐次线性方程组解的性质 可推广至有限多个解 解向量的和 数乘仍是解 性质1 证明由题设知 齐次线性方程组的解的集合V称为齐次线方程组的解空间 spaceofsolution 3 基础解系 1 向量组 线性无关 2 3 AX 0的任一解都可以由 线性表示 则称向量组 I 是齐次线性方程组 的一个基础解系 定义12设A是一个s n矩阵 如果 都是AX 0的解 含有n r个向量 证明分几步 1 用初等行变换将系数阵A化为阶梯形矩阵 个解 1 基础解系不是唯一的 2 当 时 解集合 解空间 是 2 以某种方法找个解 定理9假设A是一个 则齐次线性方程组AX 0 存在基础解系 且基础解系 注 定义 齐次线性方程组的基础解系又称为解空间的基 试求齐次线性方程组 例设A 秩A 3 基础解系含5 3 2个向量 是原方程组的一个基础解系 解 AX 0的一个基础解系与通解 解 所以只有零解 例