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巩固1方程ax2by2c表示双曲线是ab0,b0)由渐近线方程yx得.又焦点在圆x2y2100上,知c10,即a2b2100.由解得a6,b8.所求双曲线方程为1.(2)当焦点在y轴上时,设双曲线方程为1(a0,b0),则所求双曲线方程为1.综上,所求双曲线方程为1或1.练习1(2009年高考全国卷)双曲线1的渐近线与圆(x3)2y2r2(r0)相切,则r()A. B2C3 D6解析:选A.双曲线1的渐近线方程为yx,则圆心(3,0)到yx0的距离为r,r.故选A.2(2009年高考江西卷)设F1和F2为双曲线1(a0,b0)的两个焦点,若F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为()A. B2C. D3解析:选B.由,令b,得c2,a1,e2.3设P是双曲线1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x2y0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点若|PF1|3,则|PF2|等于()A1或5 B6C7 D9解析:选C.由渐近线方程yx,且a2,得b3.|PF1|32a4,P点在双曲线左支上据定义有|PF2|PF1|4,|PF2|7.4.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析:选A.在椭圆C1中,由,得椭圆C1的焦点为F1(5,0),F2(5,0),曲线C2是以F1、F2为焦点,实轴长为8的双曲线,故C2的标准方程为:1,故选A.5已知双曲线的两个焦点分别为F1(,0),F2(,0),P是双曲线上的一点,且PF1PF2,|PF1|PF2|2,则双曲线方程是()A.1 B.1C.y21 Dx21解析:选C.PF1PF2,|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,即(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|F1F2|2,又|PF1|PF2|2a,|F1F2|2c2,|PF1|PF2|2,(2a)222(2)2,解得a24,又c25,b21,双曲线方程为y21.6过双曲线M:x21的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C,且|AB|BC|,则双曲线M的离心率是()A. B.C. D.解析:选A.据题意可设lAB:yx1,lOC:ybx,lOB:ybx,由解得C点纵坐标为,B点纵坐标为,因为|AB|BC|,所以2 ,解得b3,所以e.7已知圆C:x2y26x4y80.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为_答案:18(2009年高考湖南卷)过双曲线C:1(a0,b0)的一个焦点作圆x2y2a2的两条切线,切点分别为A、B.若AOB120(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为_解析:如图,由题知OAAF,OBBF且AOB120,AOF60,又OAa,OFc,cos 60,2.答案:29设双曲线1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则AFB的面积为_解析:a29,b216,故c5,A(3,0),F(5,0),不妨设BF的方程为y(x5),代入双曲线方程解得B(,)SAFB|AF|yB|2.答案:10已知双曲线的一条渐近线方程是x2y0,且过点P(4,3),求双曲线的标准方程解:法一:双曲线的一条渐近线方程为x2y0,当x4时,y2yP3.双曲线的焦点在y轴上从而有,b2a.设双曲线方程为1,由于点P(4,3)在此双曲线上,1,解得a25.双曲线方程为1.法二:双曲线的一条渐近线方程为x2y0,即y0,双曲线的渐近线方程为y20.设双曲线方程为y2(0),双曲线过点P(4,3),32,即5.所求双曲线方程为y25,即1.11.如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,F1,F2分别为左、右焦点,双曲线的左支上有一点P,F1PF2,且PF1F2的面积为2,又双曲线的离心率为2,求该双曲线的方程解:设双曲线方程为:1(a0,b0),F1(c,0),F2(c,0),P(x0,y0)在PF1F2中,由余弦定理,得:|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|.即4c24a2|PF1|PF2|.又SPF1F22.|PF1|PF2|sin 2.|PF1|PF2|8.4c24a28,即b22.又e2,a2.双曲线的方程为:1.12已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0)(1)求双曲线C的方程;(2)若直线:ykxm(k0,m0)与双曲线C交于不同的两点M、N,且线段MN的垂直平分线过点A(0,1),求实数m的取值范围解:(1)设双曲线方程为1(a0,b0)由已知得a,c2.又a2b2c2,得b21.故双曲线C的方程为y21.(2)联立整理得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点,可得m23k21且k2设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为B(x0,y0)则x1x2,x0,y0kx0m.由题意,ABMN,kAB(k0,m0)整理得3k24m1将代入,得m24m0,m0或m4.又3k24m10(k0),即mm的取值范围是(,0)(4,) 5用心 爱心 专心
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