4.3定积分及微积分基本原理【考纲要求】1、了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. 2、了解微积分基本定理的含义.【基础知识】1、曲边梯形的定义 我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形。2、曲边梯形的面积的求法分割近似代替（以直代曲）求和取极限3、定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：，其中是积分号，是积分上限，是积分下限，是被积函数，是积分变量，是积分区间，是被积式。说明：（1）定积分是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即无限趋近的常数（时）记为，而不是 （2）用定义求定积分的一般方法是：分割：等分区间；近似代替：取点；求和：；取极限：4定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1（定积分的线性性质）；性质2（定积分的线性性质）；性质3（定积分对积分区间的可加性）5定积分的几何意义（1）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积。（2）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积的相反数。（3）从几何上看，如果在区间上函数连续，且函数的图像有一部分在轴上方，有一部分在轴下方，那么定积分表示轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积。（4）图中阴影部分的面积S=6、微积分基本定理一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿莱布尼茨公式。为了方便，我们常把记成，即。 计算定积分的关键是找到满足的函数。7、公式 （1） （2） （3）( 4) (5)； (6) 8、 定积分的简单应用 （1）在几何中的运用 ：计算图形的面积 方法：画图定域分割面积 用定积分表示面积计算（2）在物理中的应用: 9、求定积分的方法 (1)数形结合利用面积求 （2）利用微积分基本原理求【例题精讲】例1 设f(x)求f(x)dx.解：f(x)dxf(x)dxf(x)dx (x1)dx (x26)dx(x2x)|(x36x)|(1)6.例2 设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x2.(1)求yf(x)的表达式；(2)求yf(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积解：(1)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb.又f(x)2x2，所以a1，b2，即f(x)x22xc.又方程f(x)0有两个相等实根，所以44c0，即c1.故f(x)x22x1.(2)依题意，所求面积为S(x22x1)dx(x3x2x)|.4.3定积分的概念及微积分基本原理强化训练【基础精练】1.已知f(x)为偶函数且f(x)dx8，则f(x)dx等于 （ ） A0 B4 C8 D162.设f(x)则f(x)d等于 ()A. B. C. D不存在3如图，函数yx22x1与y1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 ()A1 B. C. D24.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)t2t2，质点作直线运动，则此物体在时间内的位移为 ()A.B. C. D.5若1 N的力能使弹簧伸长1 cm，现在要使弹簧伸长10 cm，则需要花费的功为()A0.05 J B0.5 J C0.25 J D1 J6.若y(sintcostsint)dt，则y的最大值是 ()A1 B2 C D07已知函数yx2与ykx(k0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为，则k_.8如图，设点P从原点沿曲线yx2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线yx2及直线x2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1S2，则点P的坐标为_9一辆汽车的速度时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_米10.若f(x)是一次函数，且f(x)dx5，xf(x)dx，那么dx的值是_11计算以下定积分：(1) (2x2)dx；(2)()2dx；(3)(sinxsin2x)dx；12如图，设点P从原点沿曲线yx2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线yx2及直线x2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1S2，求点P的坐标13已知f(x)为二次函数，且f(1)2，f(0)0，f(x)dx 2.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在1,1上的最大值与最小值【拓展提高】1设f(x)|x2a2|dx.(1)当0a1与a1时，分别求f(a)； (2)当a0时，求f(a)的最小值【基础精练参考答案】1.D解析：原式f(x)dxf(x)dx，原函数为偶函数，在y轴两侧的图象对称，对应的面积相等，即8216.2.C【解析】数形结合f(x)dx=x2dx+(2-x)dx=. 3.B解析：函数yx22x1与y1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于(x22x11)dx(x22x)dx.4.D【解析】s(t2t2)dt(t3t22t)|.5.B【解析】设力Fkx(k是比例系数)，当F1 N时，x0.01 m，可解得k100 N/m，则F100x，所以W100xdx50x20.5 J.6.B【解析】y(sintcostsint)dt(sintsin2t)dt(costcos2t)cosxcos2xcosx(2cos2x1)cos2xcosx(cosx1)222.7.2【解析】直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为，再由(kxx2)dx ()求得k2. 8. (，)【解析】设直线OP的方程为ykx, P点的坐标为(x，y)，则 (kxx2)dx(x2kx)dx，即(kx2x3)(x3kx2)，解得kx2x32k(x3kx2)，解得k，即直线OP的方程为yx，所以点P的坐标为(，)9.900米【解析】据题意，v与t的函数关系式如下：vv(t)所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为st2(50tt2)10t900米10. 43ln2【解析】f(x)是一次函数，设f(x)axb(a0)，由(axb)dx5得(ax2bx)ab5， 由xf(x)dx得 (ax2bx)dx，即(ax3bx2) ，ab， 解得a4，b3，f(x)4x3，于是dxdx (4)dx(4x3lnx)83ln2443ln2.11.【解析】(1) (2x2)dx(x3lnx)ln 2ln 2.(2)()2dx(x2)dx(x2lnx2x)(ln 36)(2ln 24)ln.(3) (sinxsin2x)dx(cosxcos2x)()(1).12.【解析】设直线OP的方程为ykx， P点的坐标为(x，y)，则(kxx2)dx(x2kx)dx，即(kx2x3)|(x3kx2)|，解得kx2x32k(x3kx2)，解得k，即直线OP的方程为yx，所以点P的坐标为(，)13.【解析】(1)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb.由f(1)2，f(0)0，得，即.f(x)ax2(2a)又f(x)dx ax2(2a)dxax3(2a)x|2a2.a6，c4.从而f(x)6x24.(2)f(x)6x24，x1,1，所以当x0时，f(x)min4；当x1时，f(x)max2.【拓展提高参考答案】f(a)(2)当a1时，由于a2在时，f(a)4a22a2a(2a1)，由f(a)0知：a或a0，故在上递减，在，1上递增因此在上，f(a)的最小值为f().综上可知，f(x)在0，)上的最小值为. 9用心 爱心 专心