第一章 题 12 给定节点 0 1x 1 1x 2 3x 3 4x 试分别对下列函数导出拉格朗日插 值余项 1 1 3 432f xxx 2 2 43 2f xxx 解 1 4 0fx 由拉格朗日插值余项得 4 0123 0 4 f f xp xxxxxxxxx 2 4 4 fx 由拉格朗日插值余项得 0123 4 4 f xp xxxxxxxxx 1 1 3 4 xxxx 题 15 证明 对于 f x 以 0 x 1 x 为节点的一次插值多项式 p x 插值误差 01 2 10 max 8 xx x xx f xp xfx 证 由拉格朗日插值余项得 01 2 f f xp xxxxx 其中 01 xx 01 0101 max 2 2 xx x fx f f xp xxxxxxxxx 01 2 10 max 8 xx x xx fx 题 22 采用下列方法构造满足条件 0 0 0p p 1 1 1p p 的插值多项式 p x 1 1 用待定系数法 2 2 利用承袭性 先考察插值条件 0 0 0p p 1 1p 的插值多项式 p x 解 1 有四个插值条件 故设 23 0123 p xaa xa xa x 2 123 23p xaa xa x 代入得方程组 0 0123 1 123 0 1 0 231 a aaaa a aaa 解之 得 0 1 2 3 0 0 2 1 a a a a 23 2p xxx 2 先求满足插值条件 0 0 0p p 1 1p 的插值多项式 p x 由 0 为二重零点 可设 2 p xax 代入 1 1p 得 1a 2 p xx 再求满足插值条件 0 0 0p p 1 1 1p p 的插值多项式 p x 可设 22 1 p xxbxx 2 22 1 p xxbx xbx Q 代入 1 1 p 得 1b 2223 1 2p xxxxxx 题 33 设分段多项式 32 32 01 21 12 xxx S x xbxcxx 是以0 1 2为节点的三次样条 函数 试确定系数 b c的值 解 由 1 2S 得2 12bc 1bc 2 2 3201 6212 xxx S x xbxcx 由 1 5 S 得6 25bc 21bc 联立两方程 得 2 3bc 且此时 6201 12212 xx Sx xbx 1 8 1 SS S x 是以0 1 2为节点的三次样条函数 题 35 用最小二乘法解下列超定方程组 2411 353 26 27 xy xy xy xy 解 记残差的平方和为 2222 2411 353 26 27 f x yxyxyxyxy 令 0 0 f x f y 得 3661020 692960 xy xy 解之得 830 273 113 91 x y 题 37 用最小二乘法求形如 2 yabx 的多项式 使与下列数据相拟合 x 19 25 31 38 44 y 19 0 32 3 49 0 73 3 97 8 解 拟合曲线中的基函数为 0 1x 2 0 xx 其法方程组为 00010 10001 fa fb 其中 00 5 0110 5327 11 7277699 0 271 4f 1 369321 5f 解之得 532 0 9726 547 285 0 05 5696 a b 2 0 97260 05yx 第二章 题 3 确定下列求积公式中的待定参数 使其代数精度尽量地高 并指明求积公式所具有 的代数精度 2 1 012 0 113 424 f x dxA fA fA f 2 从结论 在机械求积公式中 代数精度最高的是插值型的求积公式 出发 11 00 00 13 2 24 1113 3 4244 xx Alx dxdx 11 11 00 13 1 44 1113 3 2424 xx Al x dxdx 11 22 00 11 2 42 3131 3 4442 xx Alx dxdx 1 0 211123 343234 f x dxfff 当 3 f xx 时 有 左边 11 3 00 1 dd 4 f xxxx 右边 333 2111232111231 3432343432344 fff 左边 右边 当 4 f xx 时 有 左边 11 4 00 1 dd 5 f xxxx 右边 444 21112321112337 343234343234192 fff 左边 右边 所以该求积公式的代数精度为 3 题 8 已知数据表 x 1 1 1 3 1 5 x e 3 0042 3 6693 4 4817 试分别用辛甫生法与复化梯形法计算积分 1 5 1 1 x e dx 解 辛甫生法 1 5 1 1 x e dx 1 5 1 1 3 00424 3 66934 48171 47754 6 复化梯形法 1 5 1 1 x e dx 0 2 3 00422 3 66934 48171 48245 2 题 17 用三点高斯公式求下列积分值 1 2 0 4 1 dx x 解 先做变量代换 设 1 2 1 tx 则 1 2 0 4 d 1 x x 11 2 11 2 418 dd 1 24 1 1 1 4 tt t t 222 588858 999 40 1 33 4141 55 3 141068 第三章 用欧拉方法求解初值问题y axb 0 0y 1 试导出近似解 n y 的显式表达式 解 1 其显示的 Euler 格式为 11111 nnnnnn yyhf xyyhaxb 故 122 nnn yyhaxb LL 100 yyhaxb 将上组式子左右累加 得 0021 nnn yyah xxxnhb L 02 2 1 ahhhnhnhnhb L 2 1 2ah n nnhb 题 10 选取参数p q 使下列差分格式具有二阶精度 11 11 nn nn yyhK Kf xph yqhK 解 将 1 K 在点 nn xy 处作一次泰勒展开 得 11 nn Kf xph yqhK 2 1 nnxnnynn f xyphfxyqhK fxyO h 22 1 nnxnn nnxnnynnynn f xyphfxy qh f xyphfxyqhK fxyO hfxyO h 2 nnxnnnnynn f xyphfxyqhf xyfxyO h 代入 得 2 1 nnnnxnnnnynn yyh f xyphfxyqhf xyfxyO h 223 1 nnnnxnnnnynn yyhf xyph fxyqh f xyfxyO h 而 2 3 1 2 nnnnn h y xy xhy xhy xy xO h 2 3 2 nnnxnnnnynn h y xhf xy xfxy xf xy xfxy xO h 考虑其局部截断误差 设 nn yy x 比较上两式 当 1 2 p 1 2 q 时 3 11 nn y xyO h 第四章 题 2 证明方程 1 cos 2 xx 有且仅有一实根 试确定这样的区间 a b 使迭代过程 1 1 cos 2 kk xx 对一切 0 xa b 均收敛 解 设 1 cos 2 f xxx 则 f x 在区间 上连续 且 11 0 cos00 22 f 所以 f x 在 0 2 上至少有一根 又 1 1sin0 2 fxx 所以 f x 单调递增 故 f x 在 0 2 上仅有一根 迭代过程 1 1 cos 2 kk xx 其迭代函数为 1 cos 2 g xx 0 2 x 11 0 cos 222 g xx 0 2 g x 1 sin 2 g xx 1 1 2 g x 由压缩映像原理知 0 0 2 x 1 1 cos 2 kk xx 均收敛 注 这里取 a b 为区间 0 2 也可取 a b 为区间 等 题 5 考察求解方程12 32cos0 xx 的迭代法 1 2 4cos 3 kk xx 证明它对于任意初值 0 x 均收敛 证明它具有线性收敛性 证 1 迭代函数为 2 4cos 3 g xx x g x 又 22 sin1 33 g xx 由压缩映像原理知 0 x 1 2 4cos 3 kk xx 均收敛 2 1 2 lim sin0 3 k k k xx g xx xx 否则 若 sin0 x 则 xmmZ 不满足方程 所以迭代 1 2 4cos 3 kk xx 具有线性收敛速度 题 7 求方程 32 10 xx 在 0 1 5x 附近的一个根 证明下列两种迭代过程在区间 1 3 1 6 上均收敛 改写方程为 2 1 1x x 相应的迭代公式为 1 2 1 1 k k x x 改写方程为 32 1xx 相应的迭代公式为 2 3 1 1 kk xx 解 1 3232 2 1 1011xxxxx x 迭代公式为 1 2 1 1 k k x x 其迭代函数为 2 1 1g x x 1 3 1 6 x 222 111 1 31 39061111 59171 6 1 61 3x 1 3 1 6 g x 又 3 2 g x x 333 222 0 9103 0 4883 1 31 6x 0 91031g x 由大范围收敛定理知 0 1 3 1 6 x 1 2 1 1 k k x x 均收敛 2 332322 1011xxxxxx 迭代公式为 2 3 1 1 kk xx 其迭代函数为 32 1g xx 1 3 1 6 x 333222 1 31 39081 1 311 1 61 52691 6x 1 3 1 6 g x 又 22 3 2 3 1 x g x x 33 222 33 2222 1 6 0 0 4912 33 3 1 3 2 xxx xx 0 49121g x 由大范围收敛定理知 0 1 3 1 6 x 2 3 1 1 kk xx 均收敛 题 5 分别用雅可比迭代与高斯 塞德尔迭代求解下列方程组 123 123 123 532 524 2511 xxx xxx xxx 2 其雅可比迭代格式为 1 123 1 213 1 312 253 51 2 22 1121 555 kkk kkk kkk xxx xxx xxx 取初始向量 0 0 0 0 x 迭代发散 其高斯 塞德尔迭代格式为 1 123 1 1 213 1 1 1 312 253 51 2 22 1121 555 kkk kkk kkk xxx xxx xxx 取初始向量 0 0 0 0 x 迭代发 散 第六章 题 2 用主元消去法解下列方程组 123 123 123 2355 3476 335 xxx xxx xxx 解 2 对其增广矩阵进行列主元消元得 2355347634763476 3476235501 31 3105 32 33 1335133505 32 3301 31 31 3476 05 32 33 001 52 5 回代求解上三角方程组 123 23 3 3476 52 3 33 12 55 xxx xx x 得 3 2 1 2 1 4 x x x 所以 4 1 2 x