安徽省马鞍山市2013届高三数学毕业班第二次教学质量检测试题（马鞍山二模）理（含解析）（扫描版）新人教A版马鞍山市2013年高中毕业班第二次教学质量检测高三理科数学参考解答及评分标准第卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑.1【答案】C 由复数的运算得 ，故=，选C【命题意图】本题考查复数的概念及运算，容易题2. 【答案】B【命题意图】本题考查集合运算，简单题.3. 【答案】C.【命题意图】本题考查简易逻辑，容易题.4【答案】A.【命题意图】本题考查线性规划，容易题.5.【答案】B.【命题意图】本题考查二项式定理，中等题.6【答案】C 该几何体为三棱柱，计算可得表面积【命题意图】本题考查三视图，几何体表面积，中等题.7. 【答案】A.【命题意图】本题考查程序框图、古典概型等基础知识，考查分析问题解决问题的能力，中等题.8【答案】D 由函数性质，得 ,解得 故选D【命题意图】本题考查函数基本性质，不等式，较难题. 9【答案】D,而，又，故当即时最小.【命题意图】本题考查等差数列基础知识，中等题.10【答案】 A.简解：由，知 的过O点的切线为，易知切线的斜率，数形结合可知选A【命题意图】本题考查三角函数，导数及其应用，不等式，难题.题号12345678910答案CBCABCADDA第卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分请在答题卡上答题第12题图11. 直线的极坐标方程为，圆C：（为参数）上的点到直线的距离值为d，则d的最大值为 . 【答案】.【命题意图】本题考查直线与圆的极坐标方程及参数方程，考查运算能力与数形结合能力，中等题.12函数的部分图像如图所示，其中，则其解析式为 【答案】【命题意图】本题考查三角函数图象，中等题13. 已知P是椭圆和双曲线的一个交点，若分别是椭圆的左，右焦点，则 【答案】0 【命题意图】本题考查椭圆与双曲线的基本知识，中等题.14在中，若，则的最小值是 .【答案】.【命题意图】本题考查平面向量基本知识，中等题.15. 如图，在正方体中，E为正方形的中心，F为第15题图棱上的动点（包括端点）.给出下列命题：存在点F，使得；存在点F，使得所成角为； 对任意的点F，总有；对任意的点F，三棱锥的体积为定值.其中正确的命题的序号是 .【答案】【命题意图】本题考查立体几何线面关系、线面角、几何体体积，较难题三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16(本题满分12分) （）证明：；（）在中，若，求的最大值.【命题意图】本题考查两角和与差的三角函数、平面向量平行关系、正弦定理等基础知识，考查逻辑推理和运算求解能力，简单题（）证明： 所以原等式成立.4分（）解法1 8分 时，12分解法2 （以下同解法1）解法3 由余弦定理可得： ，由正弦定理可得（以下略）类似解法参照给分17(本题满分12分) 某市高二年级甲校有1100人，乙校有900人.现对两校高二年级在当年学业水平考试中的数学学科成绩进行统计分析，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，整理得到以下统计表（本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%）：甲、乙两校高二年级数学成绩统计表分组90，100甲校频数10253530x乙校频数153025y5（I）计算x，y的值，并根据以上数据估计出学校乙的数学成绩的平均分（精确到1分）；（II）若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，根据以上统计数据填写下面22列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异？”甲校乙校总计优秀非优秀总计附：01000500250010000527063841502466357879 【命题意图】本题考查22列联表、抽样调查的方法，及用样本估计总体的基本思想和设计抽样方法收集数据等基础知识，考查应用意识和数据处理的能力.解：（）依题意甲校应抽取110人，乙校应抽取90人，故估计乙校平均分为 .6分（）甲校乙校总计优秀402060非优秀7070140总计11090200又因为故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为 “两个学校的数学成绩有差异” 12分18(本题满分12分)如图，AB为圆柱的底面直径，过母线的截面ACEF是边长为1的正方形.（）求证：平面ABE平面BCF；（）若平面BEF与平面BCF所成的二面角为，求圆柱的底面直径AB长.【命题意图】利用圆柱为载体研究空间里的点、线、面之间的位置关系.如面面垂直，二面角等.中等题.（）证明：过圆柱母线的截面ACEF是正方形，截面ACEF平面ABC, AECF第18题图又AB为圆柱的底面直径, ACBCBC截面ACEF BCAE又 故AE平面BCF 又 平面ABE平面BCF6分（）解：平面BEF与平面BCF所成的二面角为，设AE=M 由（）AE平面BCF，过E作于连接为设 则在中，依题 解得 故直径AB长 12分方法（2）建立空间直角坐标系如图设则 设平面法向量为 又平面BCF法向量为，由平面BCF，故，故直径AB长12分 19(本题满分13分)已知抛物线的顶点为P，两条互相垂直的直线恒与相切,切点分别为M，N两点.（）若,求G点的轨迹的方程； （）若直线与相交于A,B两点, 与相交于C,D两点, 设,的面积分别是,求证：不论实数m取何值，为定值，并求出这个定值.【命题意图】本题考查抛物线及动点的轨迹方程等相关知识，考查运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力，中等题.解: （）由得 设, 由得 再设，由及故G点的轨迹的方程为6分（）显然，由记,，记,，为常数命题成立，这个常数为3.13分解法2：由解法1，记,，,由和：的焦点都是点，且直线过点根据抛物线的定义可知：20（本题满分13分）函数，其中.（）若函数在其定义域内是单调递增函数，求b的取值范围；（）设.当时，若存在 ，使得，求实数a的取值范围【命题意图】本题考察导数在研究函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围，考查等价转化思想，这种常规的数学思想方法值得研究. 中等题.解（）函数 由题意，f(x)0在(0，)内恒成立，故在(0，)内恒成立即恒成立显然，在(0，)内的最大值为，所以，b；即b的取值范围为.6分 （）首先研究f(x)，g(x)在1,2上的性质由（），当b时， 在(0，)内单调递增，从而f(x)在1,2上单调递增，因此，f(x)在1,2上的最小值f(x)minf(1)0，最大值f(x)maxf(2)1ln 2.g(x)3(x2a2)，由a2，知当x1,2时，g(x)3(x2a2)0，因此，在1,2上单调递减g(x)在1,2上的最小值g(x)ming(2) 最大值g(x)maxg(1)若g(x)max0，即a4时，两函数图象在1,2上有交点，此时a4显然满足题设条件，若g(x)max0，即2a4，f(x)的图象在上，g(x)的图象在下只需f(x)ming(x)max，即f(1)g(1)，即()，所以，3a4.综上，所求实数a的取值范围是.13分21（本题满分13分）已知正项数列，满足：对任意正整数n，都有,成等差数列，, 成等比数列，且，.（）求证：数列是等差数列；（）求数列an，bn的通项公式；（）设，如果对任意正整数n，不等式2aSn2 恒成立，求实数a的取值范围【命题意图】本题考查等差、等比数列综合应用，以及对裂项相消及不等式相关知识的理解应用，考查了分类讨论思想，中等题.（）证明由已知，得abnbn1将代入得，对任意n2，nN*，有 即 bn是等差数列4分（）解设数列bn的公差为d，由a1，a2.经计算，得 ，18. ，d3，bn(n1)(n4)bn(n4)，an .8分（）解由（）得 2.Sn22.不等式2aSn2化为4a2.即(a1)n2(3a6)n80，设f(n)(a1)n2(3a6)n8，则f(n)0，即a1时，不满足条件；当a10，即a1时，满足条件；当a10，即a1时，f(n)的对称轴为x0，f(n)关于n递减，因此，只需f(1)4a150.解得a，a1.综上，a1.13分15