安徽省马鞍山市2017届高三数学第一次教学质量检测试题 理（扫描版）马鞍山市2017届高中毕业班第一次教学质量检测高三理科数学参考答案一、选择题选项123456789101112答案ACADCDBCCBCC二、填空题 （13）60（14）5（15）（16）三、解答题（17）(本小题满分12分)在中，角所对的边长分别为，且满足,()求的大小；()若的面积为，求的值.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，难度：简单题【解】()由已知及正弦定理可得， （5分）() 由()可得，又由题意可知， （12分）（18）(本小题满分12分) 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它是形成雾霾天气的主要原因之一. 日均值越小，空气质量越好. 2012年2月29日，国家环保部发布的环境空气质量标准见下表：日均值k(微克)空气质量等级一级二级超标针对日趋严重的雾霾情况各地环保部门做了积极的治理。马鞍山市环保局从市区2015年11月12月和2016年11月12月的PM2.5检测数据中各随机抽取15天的数据来分析治理效果。样本数据如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）2015年2016年178823113099541149851258106239757048829()分别求这两年样本数据的中位数和平均值，并以此推断2016年11月12月的空气质量是否比2015年同期有所提高？()在2016年的样本数据中随机抽取3天，以X表示抽到空气质量为一级的天数，求X的分布列与期望.【命题意图】本题考查统计和离散型随机变量，难度：中等题解答：（1）2015年数据的中位数是58，平均数是2016年数据的中位数是51，平均数是2016年11月12月比2015年11月12月的空气质量有提高。（5分）（2）2016年的15个数据中有4天空气质量为一级，故X的所有可能取值是0,1,2,30123.（12分）（19）(本小题满分12分) 如图，在四棱锥中，点是正方形的中心，且，点为棱上一点. () 当点为棱的中点时.，求证：；()是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由.【命题意图】本题考查立体几何中的线面关系及空间向量的应用，难度：中等题【解】()由题意不妨设，则为等边三角形，当的中点时，又，.（5分）()建立如图所示的空间直角坐标系则可得，假设存在符合题意的点，可设设平面的一个法向量为则不妨取又由可得解得.所以符合题意的点是棱上靠近点D的三等分点. （12分）（20）(本小题满分12分) 已知椭圆的焦距为4，过焦点且垂直于轴的弦长为()求椭圆的方程；()过椭圆右焦点的直线交椭圆于点，设椭圆的左焦点为，求的取值范围【命题意图】本题考查圆锥曲线的综合运用，难度：中等题【解】()椭圆的焦距是，所以焦点坐标是，由题可得，椭圆过点，椭圆的方程是（4分）()由题易得，左焦点右焦点坐标为若直线垂直于轴，则点（6分）若直线不垂直于轴，可设的方程为设点将直线的方程代入椭圆的方程得到则.，（10分）的取值范围是（12分）（21）(本小题满分12分) 设函数（）（）当时，讨论的单调性；（）设，若恒成立，求的取值范围【命题意图】本题考查导数知识的综合运用，考查学生应用知识解决问题的能力，难度：较难题【解】（）由已知，当时，上单调递增，且上单调递减，在上单调递增. （4分）（）（方法一）由题可得，则上单调递增，令则，由知，且，的取值范围是.（12分）（方法二）由题可得恒成立，令，则,解得的取值范围是.（12分）四、请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程（22）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线（）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（）若曲线和曲线相交于两点，求的值解：（）由3分由即.6分（）直线与圆相交于两点，又的圆心，为半径为1，故圆心到直线的距离，10分 选修4-5：不等式选讲（23） （本小题满分10分）已知函数.（）若，解不等式；（）若的解集为，（，），求的最小值.【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法和均值不等式，中等题.解：（）当时，不等式为，即，或，原不等式的解集为；5分（），的解集为7分，（当且仅当即时取等号）的最小值为210分解：（）当时，不等式为，即，或，原不等式的解集为；5分（），的解集为7分又，（当且仅当即时取等号）的最小值为210分11