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山东省曲阜夫子学校2019届高三数学上学期12月第一次联考试题 理第卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则( )A.B.C.D.2.已知复数(为虚数单位),则的虚部为( )A.B. C. D. 3.设,则的大小关系是( )A. B.C.D.4.设函数,若角的终边经过点,则的值为( )A.1B.3C.4D.95.已知公差不为的等差数列的首项,且成等比数列,数列的前项和满足,数列满足,则数列的前项和为( )A.31B.34C.62D.596.下列有关命题的说法正确的是( )A.,使得成立. B.命题:任意,都有,则:存在,使得.C.命题“若且,则且”的逆命题为真命题.D.若数列是等比数列,则是的必要不充分条件.7.设不等式组表示的平面区域为,则( )A.的面积是B. 内的点到轴的距离有最大值C. 点在内时, D. 若点,则8.将向量列组成的系列称为向量列,并记向量列的前项和为,如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量 ,那么称这样的向量列为等和向量列。已知向量列为等和向量列,若,则与向量一定是垂直的向量坐标是( )A.B. C. D.9.函数的定义域为,且其中,为常数,若对任意都有,则函数的图象可以是( )10.已知函数,若函数的零点都在区间内,当取最小值时,等于( )A3B4C5D611.已知同时满足下列三个条件:时最小值为,是奇函数,.若在上没有最大值,则实数的范围是( )ABCD12.已知函数 ,在函数图象上任取两点,若直线的斜率的绝对值都不小于,则实数的取值范围是()A. B. C. D.第卷二、填空题:本题共4小题,每小题5分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.13. 已知向量,若,则 .14. 公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割值约为0.618,这一数值也可表示为. 若,则 .15.已知定义在实数集上的函数满足,且的导函数满足,则不等式的解集为 .(结果用区间表示)16.已知各项均为正数的两个无穷数列和满足:,且是等比数列,给定以下四个结论:数列的所有项都不大于;数列的所有项都大于;数列的公比等于;数列一定是等比数列。其中正确结论的序号是 .三、 解答题:本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本题满分12分)在中,已知点在边上,且,.(1)若,求的值;(2)若,求边上的中线的长. 18. (本题满分12分)如图所示,四棱锥中,四边形为等腰梯形,,为的中点.(1)求证:.(2)求面与平面所成的二面角的正弦值.19. (本题满分12分)首届中国国际进口博览会于2018年11月5日至10日在上海的国家会展中心举办。国家展、企业展、经贸论坛、高新产品汇集首届进博会亮点纷呈。一个更加开放和自信的中国,正用实际行动为世界构筑共同发展平台,展现推动全球贸易与合作的中国方案。某跨国公司带来了高端智能家居产品参展,供采购商洽谈采购,并决定大量投放中国市场。已知该产品年固定研发成本30万美元,每生产一台需另投入90美元。设该公司一年内生产该产品万台且全部售完,每万台的销售收入为万美元,(1)写出年利润(万美元)关于年产量(万台)的函数解析式;(利润销售收入成本)(2)当年产量为多少万台时,该公司获得的利润最大?并求最大利润.20. (本题满分12分) 已知点,的两顶点,且点满足(1)求动点的轨迹方程;(2)设,求动点的轨迹方程;(3)过点的动直线与曲线交于不同两点,过点作轴垂线,试判断直线与直线的交点是否恒在一条定直线上?若是,求该定直线的方程,否则,说明理由.21. (本题满分12分)已知函数,不等式对恒成立.(1)求函数的极值和函数的图象在点处的切线方程;(2)求实数的取值的集合;(3)设,函数,其中为自然对数的底数,若关于的不等式至少有一个解,求的取值范围请考生在第2223两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22.(本小题满分10分)选修44,极坐标与参数方程已知在平面直角坐标系中,为坐标原点,曲线(为参数),在以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,取相同单位长度的极坐标系中,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;(2)直线与轴的交点,经过点的直线与曲线交于两点,若,求直线的倾斜角.23.(本小题满分10分)选修45,不等式选讲已知函数 .(1)当时,若对任意恒成立,求实数的取值范围;(2)当时,求不等式的解集.数学(理科)试题参考答案一、选择题:15ABCBB 6-10DCCAB11-12 DB12. 解析:,在单调递减 设设则在上单调递减则对恒成立 则对恒成立 则解之得或 又,所以二、填空题:13. 14.15. 16. 16.解析:因为所以 下证等比数列的公比若,则 此时,与矛盾若若,则 此时,与矛盾故 故 下证,若 则由 所以中至少有两项相同,矛盾所以 所以正确的序号是三、解答题:17.(1) . 6分(2) 8分又,所以 12分18.(1) 又 4分又 6分(2), ,, 8分12分19. 解:(1)当时,当时,函数解析式为: 4分(2)当时,因为,在上单调递增,所以当时, 6分当时, 9分当且仅当即时等号成立 10分因为所以时,的最大值为万美元. 11分答:当年产量为万台时,该公司在该产品中获得的利润最大,最大利润为万美元. 12分20. 解:(1)设动点,其中 由得:() 3分(没强调“”的扣1分,后面不重复扣分)(2)设点,由得,代入(1)中的方程得:()即曲线轨迹方程为() 6分(3)显然过点直线不垂直轴上,设,同时设,由 消整理得: 由韦达定理得:, 7分直线 直线 联立求解交点,消得: 9分把韦达定理中的及变形式代入上式得:与无关)故两直线的交点恒落在直线上. 12分21. 解:(1),则时,时,故在递增,在递减,.1分故; 2分又,故函数的图象在点处的切线方程为: .3分显然,不合题意。当时,由得,则有, .4分故依题意知对恒成立由前面的结论知,当时,取得最大值,故又可知,当时,取得最大值,故 故, .5分综上的 .6分(3)设则.7分当时,所以不存在使得成立. 故不合题意。.9分当时,因为, 所以在恒成立,故在单调递减, .10分则依题意有 .11分解之得 故的取值范围 .12分(本题可用分离变量求解更简单)22. 解:(1)曲线C的普通方程为直线的直角坐标方程为4分(2)点的坐标为设直线的参数方程为 (为参数,为倾斜角)联立直线与曲线的方程得:6分设对应的参数分别为,则 8分且满足 故直线的倾斜角是或10分(说明,不检验扣1分)23. 解:(1)当时,转化为 4分(2)当时,由得或6分即或解得或8分故不等式的解集为10分(以上解答题如用其它方法作答,请酌情给分)- 14 -
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