2013届高三数学一轮复习课件第三章数列等差数列 等差数列是一种特殊的数列 是本章知识的重点内容之一 复习时要重点把握等差数列的定义 等差数列的性质 等差数列的通项公式及变形 等差数列的前n项和Sn与最值等方面的问题 在新课标中 强调创设具体的问题情境加强对等差数列知识的应用 同时指明了等差数列与一次函数的关系 要加以重视 预测在2013年高考中 本节知识可出现在填空题与选择题和综合题中 以考查等差数列的性质为主 多为容易题 在解题中重点考查等差数列的概念及其中包含的函数与方程 化归与转化等思想方法 与函数 不等式 解析几何 等知识综合考查时 多为中档难题 复习中一定要认真对待 注重基础 1 等差数列的概念 若数列 an 从第二项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 则数列 an 叫等差数列 这个常数叫等差数列的公差 常用字母d表示 定义的数学表达式为an 1 an d n N 2 等差数列的通项公式an a1 n 1 d 推广 an am n m d 变式 a1 an n 1 d d 3 等差中项 若a b c成等差数列 则b称a与c的等差中项 且b a b c成等差数列是2b a c的充要条件 4 等差数列的前n项和Sn Sn na1 d nan n 1 nd 变式 a1 n 1 an n 1 5 等差数列的性质 1 若m n p q N 且m n p q 则对于等差数列有等式am an ap aq 2 序号成等差数列的项依原序构成的数列 则新数列成等差数列 3 Sk S2k Sk S3k S2k 成等差数列 4 也是一个等差数列 5 在等差数列 an 中 若项数为2n 则S偶 S奇 nd 若项数为2n 1 则S奇 nan S偶 n 1 an 6 等差数列的增减性 d 0时为递增数列 且当a1 0时 前n项和Sn有最小值 d0时 前n项和Sn有最大值 7 设数列是等差数列 且公差为d 若项数为偶数 设共有2n项 则 S偶 S奇 nd 若项数为奇数 设共有2n 1项 则 S奇 S偶 an a中 1 已知数列 an 中 an 1 an 且a1 2 则a2011等于 A 1005 B 1006 C 1007 D 1008 解析 由题意知 an 1 an an 是等差数列 a2011 2 2011 1 1007 答案 C 2 2011年宁夏银川一中质检 已知数列 an 为等差数列且a1 a7 a13 4 则tan a2 a12 的值为 A B C D 解析 由等差数列的性质可知 3a7 4 a7 tan a2 a12 tan 2a7 tan 答案 D 3 2011年惠州市二模 已知等差数列 an 中 a2 6 a5 15 若bn a3n 则数列 bn 的前9项和 解析 由 所以an 3 3 n 1 3n bn a3n 9n 数列 bn 的前9项和为S9 9 405 答案 405 4 已知等差数列的前n项和为Sn 若a4 18 a5 则S8 解析 由已知可知a4 a5 18 S8 4 a4 a5 72 答案 72 题型1五个基本量的有关计算 例1 1 2011年重庆卷 在等差数列 an 中 a2 2 a3 4 则a10等于 A 12 B 14 C 16 D 18 2 设Sn为等差数列 an 的前n项和 若S3 3 S6 24 则a9 3 云南省2011届高三数学一轮复习测试 等差数列 an bn 的前n项和分别为Sn Tn 且 则使得为整数的正整数n的个数是 A 3 B 4 C 5 D 6 分析 利用等差数列的通项公式及其前n项和Sn的公式 找到a1 an d Sn n五个量之间的关系 合理利用公式 有效快速地解方程 解析 1 d a3 a2 4 2 2 a10 a2 8d 2 8 2 18 故选D 2 解得 a9 a1 8d 15 故填15 3 因为 又 7 只有n 2 1 3 11 33时 才为正整数 所以命题成立的n有4个 答案 1 D 2 15 3 B 点评 有关等差数列的计算问题常涉及五个元素 首项a1 公差d 通项an 项数n 前n项和Sn 其中a1和d是确定等差数列的两个基本元素 只要把它们求出 其余的元素便可以求出 但有时单一的用方程的思想解题 所需的运算量大且运算繁琐 所以 解题时应具体分析题意 寻求较简捷的方法 从而起到事半功倍的效果 变式训练1 1 2011年江西卷 设 an 为等差数列 公差d 2 Sn为其前n项和 若S10 S11 则a1等于 A 18 B 20 C 22 D 24 2 2011年湖南卷 设Sn是等差数列 an n N 的前n项和 且a1 1 a4 7 则S5 3 已知数列 an 为等差数列 Sn为其前n项和 a7 a5 4 a11 21 Sk 9 则k 解析 1 S10 S11 a11 S11 S10 0 a11 a1 10d a1 20 0 a1 20 2 3d a4 a1 7 1 6 d 2 S5 5 a1 d 25 3 a7 a5 2d 4 d 2 a1 a11 10d 21 20 1 Sk k 2 k2 9 又k N 故k 3 答案 1 B 2 25 3 3 例2 1 2011年重庆卷 在等差数列 an 中 a3 a7 37 则a2 a4 a6 a8 题型2等差数列性质的应用 2 在等差数列 an 中 a6 a3 a8 则S9等于 A 0 B 1 C 1 D 以上都不对 分析 1 由若m n p q N 且m n p q 则am an ap aq成立来求解即可 2 由 1 同样的性质可知 a5 a6 a3 a8成立 可得a5 由S9 9a5可得 解析 1 a2 a8 a4 a6 a3 a7 37 故a2 a4 a6 a8 2 37 74 2 a3 a8 a5 a6 a6 a5 0 S9 9a5 0 答案 1 74 2 A 点评 巧用性质 减少运算量 在等差数列的计算中非常的重要 利用等差数列的性质解题 一定要从等差数列的本质特征入手去思考 分析题意 才能做到事半功倍 变式训练2 1 2011年山东临沂质检 在等差数列 an 中 若a2 a4 a6 a8 a10 80 则a7 a8的值为 A 4 B 6 C 8 D 10 2 2011年辽宁卷 Sn为等差数列 an 的前n项和 S2 S6 a4 1 a5 解析 1 性质若m n p q N 且m n p q 则am an ap aq可知a2 a10 a4 a8 2a6 a6 16 a7 a8 a6 8 2 S2 S6 a3 a4 a5 a6 0 由性质可知 a4 a5 0 a4 1 a5 1 答案 1 C 2 1 题型3等差数列的判定或证明 例3 2011年全国卷 设数列 an 满足a1 0且 1 1 求 an 的通项公式 2 设bn Sn bk 证明Sn 1 分析 抓住等差数列的定义 学会判断或证明等差数列的方法 并且对于 2 中的求和可以利用裂项相消法求数列的和 解析 1 由 1 得为等差数列 首项为 1 d 1 于是 1 n 1 1 n 1 an an 1 2 bn Sn bk 1 1 命题成立 点评 等差数列的定义是判定或证明一个数列为等差数列的基本方法之一 利用它解题时务必注意式子an 1 an d的要求是对于任意n 2的正整数成立 变式训练3在数列 an 中 a1 1 an 1 2an 2n 设bn 证明 数列 bn 是等差数列 解析 an 1 2an 2n 1 1 由等差数列的定义可知 数列 是以1为首项 以1为公差的等差数列 即数列 bn 是等差数列 例4 1 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若a1 15 a4 a6 6 则当Sn取最小值时 n等于 A 5 B 7 C 5或6 D 6或7 题型4等差数列前n项和Sn的最值 2 2011年广东卷 等差数列前9项的和等于前4项的和 若a1 1 ak a4 0 则k 分析 利用等差数列的函数特征可知 等差数列为单调数列 关键要由公差的正负来决定 或由等差数列的前n项和Sn的二次函数特性可知 解析 1 设该数列的公差为d 则a4 a6 2a1 8d 2 15 8d 6 解得d 3 令an 15 3 n 1 0得n 6 故选C 2 法一 由题意可知 S9 S4 a5 a6 a7 a8 a9 0 由等差数列的性质可知 a5 a6 a7 a8 a9 5a7 0 a7 0 同理由性质可知 2a7 0 ak a4 k 10 法二 由题得 d k 10 答案 1 C 2 10 点评 本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用 考查二次函数最值的求法及计算能力 变式训练4 1 2011年长沙模拟 若 an 是等差数列 首项a1 0 a2003 a2004 0 a2003 a20040成立的最大的自然数n是 A 4005 B 4006 C 4007 D 4008 2 2011年温州模拟 已知等差数列 an 中 公差d 0 a2009 a2010是方程x2 3x 5 0的两个根 那么使得前n项和Sn为负值且绝对值最大的n的值是 解析 1 由等差数列的一次函数特性可知 等差数列是单调数列 由已知可知 a2003 0 a20040 S4007 4007a20040成立的最大的自然数n是4006 2 由根与系数的关系可知 a2009 a2010 3 0 a2009 a2010 50 a20090 a2009是最后一个负项 前2009项的和为最小即为Sn绝对值的最大值时n 2009 答案 1 B 2 2009 1 要熟练应用通项公式及其变形公式 2 要熟用和活用等差数列的中项公式及其推广 3 等差数列的判定方法有 1 定义法 2 中项公式法 3 通项公式法 4 前n项和公式法 4 重视从一般到特殊和从特殊到一般以及函数与方程等数学思想在数列问题中的应用 5 等差数列的性质可以大大简化解题过程 6 注重化归与转化的思想 把某些问题转化为等差数列问题 再利用等差数列的定义或性质求解